941, 28.03.2020 "Решение однородных тригонометрических уравнений".

Однородные уравнения первой степени

Чтобы решить однородное уравнение вида

, где

нужно обе его части разделить на или , получив простейшее тригонометрическое уравнение

или .

В случае, когда один из коэффициентов, а либо b, равен нулю, однородное уравнение первой степени сводится к простейшему тригонометрическому уравнению

или .

Однородные уравнения второй степени.

I. Однородное уравнение второй степени

, где ,

делится на либо на и приводится к квадратному уравнению

или ,

которые решаются методом замены переменной, полагая или .

II. Если , , уравнение имеет вид:

,

уравнение делится на либо на и приводится к виду:

или .

III. Если , , уравнение имеет вид:

.

Решается методом разложения на множители, и сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения и однородного уравнения первой степени:

IV. Если , , уравнение имеет вид:

.

Решается аналогично случаю III:

Пример 1.4. Решите уравнение

.

Решение

Разделим на обе части уравнения (т.к. не является решением уравнения, то без потери корней можем считать ):

; ; .

Ответ: .

Пример 1.5. Решите уравнение

Решение.

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:

.

Замена:

Ответ: , .

зз

Решите уравнения:

1) cos x  + 8 sin x  = 0. 

2) sin² x + sin x cos x =2 cos² x . 

3) 4sin x + 5cos x = 4. 

4) 5sin x + cos x = 5.