Россия, Саров
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 18.11.2024 21:40
Градова Юлия Геннадьевна
Учитель математики
36 лет
2 791
22 151 
Местоположение
Специализация
Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители
Категория:
Алгебра
31.01.2022 04:10
Просмотр содержимого документа
«Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители»
Квадратный трехчлен.
Квадратичная функция.
Квадратные уравнения.
Разложение квадратного
трехчлена на множители.
(8 класс)
- Квадратный трехчлен
- Квадратичная функция
- Квадратные уравнения
- Разложение квадратного трёхчлена на множители
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Многочлен ax ² +bx+c , где а, в, с – числа (коэффициенты), причем
а ≠ 0 называется квадратным трехчленом
Причем: а – старший коэффициент,
в - второй коэффициент
с – свободный член
1) 2х ² - 6х + 1
2) - 2х ² + 8х – 5
3) 3х ² + 2х
- а =2; в = -6; с = 1
- х ² - 4х + 7
- - х ² - 8
- 6х ² - х - 2
2) а =-2; в = 8; с = -5
3) а =3; в = 2; с = 0
4) а =1; в = -4; с = 7
5) а =-1; в = 0; с = -8
6) а =6; в = -1; с = -2
КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ
- Функция у = ax ² +bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а ≠0 называется квадратичной.
- Графиком квадратичной функции является парабола
0 , и вниз если а 0 Как найти координаты вершины параболы? – абсцисса х₀ вершины параболы вычисляется по формуле х₀ = - в/2а - ордината у₀ вершины параболы вычисляется подстановкой найденной х₀ в заданную функцию Осью симметрии параболы является прямая х = - в/2а " width="640"
Запомним
- Ветви параболы у = ax ² +bx+c направлены вверх, если а 0 , и вниз если а 0
- Как найти координаты вершины параболы?
– абсцисса х₀ вершины параболы вычисляется по
формуле х₀ = - в/2а
- ордината у₀ вершины параболы
вычисляется подстановкой найденной х₀
в заданную функцию
- Осью симметрии параболы является прямая
х = - в/2а
- у = 2х ² - 8х + 1
- у = - 2х ² +16х – 5
- Т.к. а =2 ; в =-8; с =1
то х₀ = 8 : (2 · 2)=2
у₀= 2 · 2 ² - 8 · 2 + 1=-7
Значит: (2; -7) координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2
2) Т.к. а=-2; в=16; с=-5
то х₀ = -16 : (2 · (-2)) = 4
у₀ = -2 · 4 ² + 16 · 4 - 5 = 27
Значит: (4; 27) координаты вершины; ось симметрии: х=4
1) у = х ² + 4х + 5
2) у = 2х ² + 4х
3) у = -3х ² + 6х + 1
4) у = 3х ² - 12х
5) у = х ² + 6х - 2
6) у = -2х ² + 8х - 5
7) у = -4х ² - 8х
Проверим:
1) (-2; 1)
2) (-1; -2)
3) (1; 4)
4) (2; - 12)
5) (-3; - 11)
6) (2; 3)
7) (-1; 4)
1) Сегодня на уроке я запомнил…
2) Сегодня на уроке я научился…
3) Сегодня на уроке я узнал …
4) Сегодня на уроке я выучил…
5) Сегодня на уроке было интересно …
6) Сегодня на уроке мне понравилось …
Квадратные уравнения
- Определение квадратного уравнения
- Классификация квадратных уравнений
- Способы решения квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ² +bx+c= 0 ,
где x - переменная,
a, b, c – любые действительные числа, причем a ≠0. (Почему?)
Причем: а – старший коэффициент
в - второй коэффициент
с – свободный член
Квадратные уравнения .
неполное полное
b = 0; x² + c = 0 ах ² + b х + с = 0 , а≠0
c = 0; ax² + bx = 0
b = 0; c = 0; ax² = 0 приведённое
x² + p x + q = 0 , а=1
0 ), либо 1 корень ( если D = 0 ) , либо вообще не иметь корней ( если D ) " width="640"
Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D 0 ),
либо 1 корень ( если D = 0 ) ,
либо вообще не иметь корней ( если D )
- Разложением на множители
- Выделением полного квадрата
- По формуле корней (универсальный способ)
- По теореме Виета
- По коэффициентам
- Графический
- Введение новой переменной
- Например:
Решим уравнение : х ² + 6х - 7 = 0.
Решение: х ² + 6х -7 = 0.
х ² + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0
(х ² + 6х + 9) - 9 – 7 = 0
(х +3) ² – 16 = 0.
(х +3) ² = 16.
Значит: х +3 = 4 и х + 3 = -4.
х = 1 х =-7.
Ответ: 1; -7.
- Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения
и равное D = b ² - 4 ac .
2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение
- если D , то данное квадратное уравнение не имеет корней;
0 , то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны " width="640"
- если D =0 , то данное квадратное уравнение имеет
единственный корень, который
равен
- если D 0 , то данное квадратное уравнение
имеет два корня, которые равны
0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x₁ = 2 и x₂ = 0,5 - корни заданного уравнения. " width="640"
Здесь a = 2, b = -5, c = 2 .
Имеем D = b 2 - 4ac = (-5) 2 - 4 2 2 = 9 .
Так как D 0 , то уравнение имеет два корня.
Найдем их по формуле
то есть x₁ = 2 и x₂ = 0,5 - корни заданного уравнения.
- x 2 - 2 x + 1 = 0 .
- 2x 2 - 3x +5= 0 .
Проверим
1 уравнение:
получили один корень х = 1, т.к. D = 0
Проверим
2 уравнение :
уравнение не имеет д ействительных корней, т.к. D 0
1) Выберите квадратные уравнения и
определите значения их коэффициентов:
А) 2х ² – 8 = 0; Б) -х ² + 4х + 1 = 0;
В) 3х ³ + 2х – 9 = 0; Г) 5х – 3х ² +2 = 0;
Д) х – 3 = 0; Е) 3 – 5х ² – х = 0;
Ж) х ² – х = 0. И) х ² + 5 - 2х = 0
2) По коэффициентам указать приведенные
уравнения.
3) Из квадратных уравнений
выбрать неполные и решить их.
- Квадратные уравнения:
А) 2х ² – 8 = 0, где а=2; в=0; с=-8
Б) -х ² + 4х + 1 = 0, где а=-1; в=4; с=1
Г) 5х – 3х ² + 2 = 0, где а=-3; в=5; с=2
Е) 3 – 5х ² – х = 0, где а=-5; в=-1; с=3
Ж) х ² – х = 0, где а=1; в=-1; с=0
И) х ² + 5 - 2х = 0, где а=1; в=-2; с=5
2) Приведенные квадратные уравнения:
И) х ² + 5 - 2х = 0
3) Неполные квадратные уравнения:
А) 2х ² – 8 = 0 и Ж) х ² – х = 0
Решения: 2х ² – 8 = 0 и х ² – х = 0
2(х ² - 4)=0 х(х-1)=0
2≠0; х ² - 4 =0 х=0; х-1=0
х ² = 4 х=0; х=1
х = ± 2
Дано уравнение:
Решение:
Ответ:
Теорема Виета: Если корни х₁ и х₂ приведённого квадратного уравнения х ² + p x + q = 0 , то х₁ + х₂ = - p , а х₁ · х₂ = q .
Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p , m∙n = q , то эти числа являются корнями уравнения х ² + p x + q = 0 .
Обобщённая теорема: Числа х₁ и х₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения х ² + p x + q = 0 тогда и только тогда, когда х₁ + х₂ = - p , х₁ · х₂ = q .
Следствие: х ² + p x + q = (х – х₁)(х – х₂)
Дано приведённое квадратное уравнение
x²-7x+10=0
Решение : методом подбора проверим числа
2 и 5 . Их произведение равно 10 ( т.е. свободному члену уравнения ), а их сумма равна 7 , ( т.е. второму коэффициенту уравнения , но с противоположным знаком )
Значит эти числа и являются корнями данного уравнения.
Ответ: 2 и 5
Решаем вместе:
1 ) х ² - 15х + 14 = 0
2) х ² + 3х – 4 = 0
3) х ² - 10х – 11 = 0
4) х ² + 8х – 9 = 0
Решить
самостоятельно
в парах:
1) х ² + 8х + 7 = 0
2) х ² - 19х + 18 = 0
3) х ² - 9х – 10 = 0
4) х ² + 9х + 20 = 0
1) х₁ =-1 х₂ =-7
2) х₁ = 1 х₂ = 18
3) х₁ =-1 х₂ =10
4) х₁ =-4 х₂ =-5
- Если с умма коэффициентов равна 0, т.е. а + в + с = 0 , то х₁ = 1 х₂ = с/а .
2) Если а –в + с = 0, то х₁ = -1 х₂ = -с/а.
3) Если а = с, в = а ² + 1, то
х₁ = –а = - с х₂ = -1/а = -1 /с.
4) Если а = с , в = - (а² + 1), то
х₁ = а = с х₂ = 1/а = 1/с
1) 3х² + 4х + 1 = 0, 2) 5х² - 4х – 9 = 0, 3) 6х² + 37х + 6 = 0,
4) 7х² + 2х – 5 = 0,
5) 13х² - 18х + 5 = 0,
6) 5х² + х – 6 = 0,
7) 7х² - 50х + 7 = 0,
8) 6х² - 37х + 6 = 0,
9) 7х² + 50х + 7 = 0.
Решение:
преобразуем
Пусть у₁ = х ² и у₂ = 4
Построим эти графики в одной координатной плоскости
Ответ: х = -2; х = 2
1 вариант
1) х ² + 2х – 3 = 0
2) - х ² + 6х – 5 = 0
3) 2х ² - 3х + 1 = 0
2 вариант
1) х ² - 4х + 3 = 0
2) -х ² - 3х + 4 = 0
3) 2х ² - 5х + 2 = 0
0. Решим квадратное уравнение и получим: а₁ = 1, а₂ = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х : 1). если а₁ = 1, то 2х + 3 = 1 и тогда х₁ = - 1; 2). если а₂ = 2, то 2х + 3 = 2 и тогда х₂ = - 0,5 Ответ: -1; -0,5. " width="640"
Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение
Например: надо решить уравнение (2х+3) ² = 3(2х+3) – 2.
Решение: п усть: а = 2х + 3.
Произведем замену переменной: а ² = 3а - 2.
Тогда получим уравнение а ² - 3а + 2 = 0 и у него D 0.
Решим квадратное уравнение и получим: а₁ = 1, а₂ = 2.
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х :
1). если а₁ = 1, то 2х + 3 = 1 и тогда х₁ = - 1;
2). если а₂ = 2, то 2х + 3 = 2 и тогда х₂ = - 0,5
Ответ: -1; -0,5.
а) (х ² - х) ² - 14(х ² - х) + 24 = 0;
б) (2х - 1)⁴ - (2х - 1) ² - 12 = 0
Проверим ответы:
а)
б)
Разложение квадратного трехчлена
на множители
Если квадратное уравнение ax ² +bx+c= 0
имеет корни х₁ и х₂ , то квадратный трехчлен ax ² +bx+c , раскладывается на множители следующим образом:
ax ² +bx+c= а · (х - х₁ )(х - х₂ ).
1 вариант
1) х ² - 11х + 24
2) х ² + 7х + 12
3) - х ² - 8х + 9
4) 3х ² + 5х - 2
5) -5х ² + 6х - 1
2 вариант
1) х ² - 2х - 15
2) х ² + 3х - 10
3) - х ² + 5х - 6
4) 5х ² + 2х - 3
5) -2х ² + 9х - 4
1 вариант
1) (х-8)(х-3)
2) (х+3)(х+4)
3) – (х-1)(х+9)
4) 3 · (х-1/6)(х+13/6)
5) -5 · (х-1)(х- 0,2)
2 вариант
1) (х-5)(х+3)
2) (х-2)(х+5)
3) - (х-2)(х-3)
4) 5 · (х+1)(х- 0,6)
5) -2 · (х- ½ )(х-4)
- Сегодня на уроке я запомнил…
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке я узнал …
- Сегодня на уроке я выучил…
- Сегодня на уроке было интересно …
- Сегодня на уроке мне понравилось …
СПАСИБО
ЗА УРОК !!!
http://www.avazun.ru/photoframes/&sort=&p=10
http://s59.radikal.ru/i163/0811/73/ad11fb505124.png
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
