Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Ныртинская средняя школа»
Методическая разработка по теме:
« Задачи на смеси и сплавы»
Разработала:
Бикмухаметова Голниса Рифатовна
учитель математики высшей квалификационной категории
Нырты 2016 г.
Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы » Данная тема отсутствует в учебнике «Алгебра 9». На экзамене в 9 классе и в 11 классе проверяют умение решать задачи на смеси и сплавы. Я приняла решение, что в конце учебного года целесообразно разобрать данные задачи. Чтобы данный материал был хорошо усвоен учащимися, накануне были проведены обобщающие уроки повторения по темам: проценты, нахождение части от числа, нахождение числа по его части. Цели: проверить умение рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, составлять по задаче уравнения и решать его, научить решать задачи на смеси и сплавы арифметическим способом. I. Организационный момент.
Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они охватывают большой круг ситуаций: смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.
Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить не только алгебраически, то есть с помощью уравнения, но и арифметическим способом.
Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.
1. Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси. Нахождение части от целого. В химии вы называли эту величину массовой долей вещества.
Концентрация вещества может быть указана и числом и %.
2. Объясните значение высказываний:
а) Концентрация раствора 3 %;
(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).
в) Молоко имеет 1,5 % жирности;
(В100 г молока содержится 1,5 г жира).
с) золотое кольцо имеет 583 пробу?
(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).
Сколько сахара содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?
Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.
3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?
(1: 5 ·100 = 20 %)
4. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?
(1 : 10 ·100 = 10%)
III. Решение задач
Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующую задачу мы решим с вами с помощью уравнения.
№1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?
Для решения задачи я попрошу вас заполнить таблицу, которая находится у вас на столе.
| Концентрация | Масса раствора ( г ) | Масса кислоты ( г ) |
I раствор | | | |
IIраствор | | | |
смесь | | | |
Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.
Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.
Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.
По условию задачи составим и решим уравнение.
0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,
65 х – 50 х = 70 у – 65 у,
15 х = 5 у,
3 х = 1 у,
х : у = 1 : 3.
Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты
Ответ: 50% раствора кислоты -1 часть, 70% раствора кислоты - 3 части.
А теперь я хочу предложить вам схему решения этой задачи арифметическим методом, который позволяет решить ее практически устно. Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси так:
Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям:
Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей . Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части. Сравните полученные результаты. Делаем вывод: получили один и тот же ответ, но времени затратили гораздо меньше.
Вовсе не случайно в старые времена отношение масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.
Докажем справедливость этого способа.
В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот, чтобы получить раствор с % кислоты?
Заполним вторую таблицу.
| Концентрация | Масса раствора (г) | Масса кислоты (г) |
I раствор | | | |
II раствор | | | |
смесь | | | |
Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.
Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.
Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х + у) г кислоты.
Составим и решим уравнение
0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,
cx +cy = ax + by
х(с – а) = у(b – c),
Заполним схему, учитывая, что а
Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.
Давайте применим этот способ для решения задач.
№2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы, чтобы получить золото 500 пробы?
И так составляем схему.
Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2 части золота 375 пробы и 1 часть золота750 пробы.
Решим следующую задачу.
№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?
Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора. Значит, на одну часть приходится 10 кг. Следовательно, 7частей пресной воды – это 70 кг.
Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.
Следующие задачи решить удобным для вас способом.
№4. Имеется два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится 40%, а во втором – 70% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы из них получить новый сплав, содержащий 60% меди?
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,7Y – масса меди во втором сплаве, 0,6(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,7Y=0,6(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=1:2.
Ответ: необходимо взять одну часть 40% сплава и две части 70% сплава.
№5. В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшила на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.
Решение: пусть X – масса меди в сплаве, Y – масса цинка в сплаве. Если количество меди увеличить на 40%, то масса меди составит 1,4 X, если уменьшить на 40% количество цинка, то масса цинка составит 0,6 Y. Масса всего куска увеличится на 20%, а значит будет составлять 1,2(X +Y). Составим уравнение: 1,4 X+0,6 Y=1,2(X +Y). Решив уравнение, имеем:
X: Y=3:1. Процентное содержание меди: 0,75=75%, цинка 0,25=25%.
Ответ: 75% меди и 25% цинка в сплаве.
№6. Смешали 30%-ный и 50%-ный раствор азотной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30% раствора к массе 50% раствора.
Решение: пусть X – масса 30% раствора азотной кислоты, Y – масса 50% раствора азотной кислоты. 0,3X – масса азота в первом растворе, 0,5Y – масса азота во втором растворе, 0,45(X +Y) – масса азота в новом растворе. Составим уравнение: 0,3X+0,5Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=1:3.
Ответ: необходимо смешать одну часть 30% раствора и три части 50% раствора.
№7. Соединили два сплава с содержанием меди 40% и 60% и получили сплав, содержащий 45% меди. Найдите отношение массы сплава с 40% содержанием меди к массе сплава с 60% содержанием меди.
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X – масса меди в первом сплаве, 0,6Y – масса меди во втором сплаве, 0,45(X +Y) – масса меди в новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,6Y=0,45(X +Y). Решив уравнение, имеем, что X: Y=3:1.
Ответ: необходимо взять три части 40% сплава и одну часть 60% сплава.
IV. Самостоятельная работа.
(решить арифметическим способом задачи)
1. Сколько граммов 75% - ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%- ный раствор кислоты?
2. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
3.Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
4. Имеется кусок сплава цинка с железом общей массой 24 кг, содержащий 20% цинка. Сколько килограммов чистого железа надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 15% цинка?
Подведем итог занятия. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения, и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.
Самостоятельная работа в конце занятия показала, что тему учащиеся поняли хорошо, научились арифметически решать задачи на смеси и сплавы. В дальнейшем (в 9 классе) планирую разобрать другие виды задач и способы их решения: применение линейных уравнений, применение систем линейных уравнений.
Литература:
ЕГЭ, Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов /под. ред.И.В. Ященко. – М: Издательство «Национальное образование», 2015. 272с.- (ЕГЭ. ФИПИ – школе)
ОГЭ, Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов /под. ред.И.В. Ященко. – М: Издательство «Национальное образование», 2015. 224с.- (ОГЭ. ФИПИ – школе)
ЕГЭ 2010. Математика: репетитор /В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. -.М:, Эксмо,2009, - 320с. – (ЕГЭ. Репетитор)
8