Задание 15 ЕГЭ. Неравенства, содержащие модуль

ЗАДАНИЕ 15 ЕГЭ. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ.

Модулем (абсолютной величиной) называется функция, которая каждому числу ставит в соответствие число

То есть, другими словами, модуль х – это расстояние от 0 (начало координат) до точки х. Т.к. расстояние – величина неотрицательная, то модуль х не может быть отрицательным: . Более общее понятие модуля: – это расстояние от точки х до точки а.

Свойства модуля:

Геометрический смысл модуля:

Рассмотрим на примерах.

1. . Решениями такого неравенства являются все числа, которые удалены от начала координат на расстояние, меньшее 8.

или

1. . Решением такого неравенства являются все числа, которые удалены от точки 5 на расстояние, не больше 3.

или

или

1. . Решением этого неравенства являются все числа, которые удалены от начала координат на расстояние, не меньшее 2.

1. . Решением этого неравенства являются все числа, которые удалены от точки на расстояние, большее 5.

1. . Данное неравенство решений не имеет, т.к. расстояние не может быть отрицательным. Аналогично, решений не имеет.

1. . Это неравенство имеет единственное решение .

1. . Данное неравенство имеет бесконечно много решений, т.к. расстояние от точки х до нуля всегда больше отрицательного числа. .

Виды неравенств, содержащих модуль:

1. Неравенство содержит некоторое выражение под модулем и число вне модуля:, где а – некоторое число.

Например, .

1. Неравенство, содержит выражение с переменной под знаком модуля и вне его: .

Например, .

1. Неравенство, которое содержит несколько модулей:

Например, .

1. Неравенства вида , где

Например, .

1. Неравенства, решаемые заменой переменной.

Например, .

Способы решения неравенств, содержащих модуль:

1. Решение неравенств с помощью геометрического свойства модуля.

Пример 1.

Решением исходного неравенства будут все значения х, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству из совокупности и каждому неравенству из системы.

Ответ: .

Пример 2.

Решением исходного неравенства будут все значения х, которые удовлетворяют и совокупности, и двойному неравенству.

Ответ:

1. Решение неравенств, используя определение модуля.

Пример.

Воспользуемся определением модуля:

Ответ:

1. Решение неравенств методом возведения в квадрат.

Пример 1.

Левая и правая части данного неравенства являются положительными выражениями, поэтому их можно возвести в квадрат:

Так как 2 – чётный показатель степени, то по свойству 6 получаем:

Применяем формулу разности квадратов:

Значит,

Ответ:

Пример 2.

Применяем формулу разности квадратов:

Умножаем обе части неравенства на 400 (каждую скобку на 20):

Ответ:

1. Метод перебора вариантов (метод интервалов).

Так как этот метод достаточно сложный, приведём алгоритм его применения.

1. Выписать все подмодульные выражения, приравнять их к нулю и решить уравнения.

2. Найденные корни отметить на одной числовой прямой и на каждом получившемся участке определить знаки каждого подмодульного выражения.

3. Раскрыть модули согласно знакам на каждом участке и решить получившиеся неравенства.

4. Результаты объединить.

Пример.

Решим согласно алгоритму.

1. Раскроем модули на каждом участке.

Учитывая, условие , получаем:

Учитывая условие ,

Учитывая условие ,

1. Объединяя решения всех трёх неравенств, получим решение исходного неравенства:

Ответ:

1. Решение неравенств методом замены переменной.

Пример 1.

Сделаем замену переменной: . Тогда, согласно свойству 6 и неравенство примет вид:

Значит, . Возвращаемся в замену:

Ответ:

Пример 2.

Сделаем замену переменной: . Тогда неравенство принимает вид:

Значит, . Возвращаемся в замену переменной:

Ответ:

1. Графический способ решения неравенств.

Пример.

Решим это неравенство графически. Справа у нас линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки . Слева под знаком модуля квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх. Т.к. квадратичная функция стоит под знаком модуля, то её отрицательная часть (там, где у отрицателен) отображается относительно оси Ох. Строим графики.

Графики пересекаются в точках А и В. Для того, чтобы выполнялось исходное неравенство, необходимо, чтобы прямая располагалась выше параболы. Это заштрихованный участок. Ему соответствует . Сами точки пересечения не включаются в промежуток, т.к. исходное неравенство строгое.

Ответ:

Приведённые ниже задания взяты из базы данных ЕГЭ.

1. Решить неравенство:

Решение. Упростим неравенство:

ОДЗ:

Левая и правая части полученного неравенства имеют одинаковые знаменатели, причём положительные при всех х из области допустимых значений.

Умножая обе части неравенства на знаменатель (он положителен!!!), получаем неравенство:

Воспользуемся первым способом решения неравенств, содержащих модуль (с помощью геометрического свойства модуля).

Учитывая ОДЗ, получаем:

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Упростим неравенство:

Это неравенство удобно решать методом замены переменной:

. Тогда, учитывая 6 свойство модуля, . Значит, неравенство принимает вид:

Отмечаем на числовой прямой нули левой части неравенства:

Значит, . Возвращаемся в замену переменной, т.е. вместо ставим . Получаем двойное неравенство, которое решаем в виде системы неравенств:

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Упростим неравенство:

Воспользуемся методом перебора вариантов (методом интервалов):

1. Приравняем к нулю подмодульные выражения и найдём корни:

1. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки подмодульных выражений на получившихся промежутках:

1. Раскроем модули на каждом промежутке.

Учитывая условие, что , получаем:

Учитывая условие, что , получаем:

Учитывая условие, что , получаем:

1. Объединяем решения всех трёх вариантов:

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Воспользуемся первым способом решения неравенств, содержащих модуль (с помощью геометрического свойства модуля):

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Преобразуем неравенство:

Воспользуемся методом замены переменной:

. Тогда неравенство примет вид:

Значит, . Учитывая условие , сделанное при замене переменной, делаем вывод, что данное неравенство имеет решения только при . Вернёмся к замене переменной:

Это уравнение имеет корни только в двух случаях:

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Воспользуемся методом перебора вариантов. Так как под модулем у нас только х, то вариантов всего два:

Объединяя решения обоих случаев, получаем решение исходного неравенства:

Ответ:

1. Решить неравенство:

Решение.

Воспользуемся методом замены переменной:

. Тогда неравенство принимает вид: 

Значит, учитывая условие , сделанное при замене переменной, получаем:

Вернёмся в замену переменной:

Значит, решение исходной системы имеет вид:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

Решить неравенства:

Ответы на задания для самостоятельного решения.

8