От обыкновенных дробей к двоичным

От обыкновенных дробей

к двоичным

Актуальность темы

Актуальность данной темы состоит в том, что дробные числа находят широкое применение в расчетах, производимых на ЭВМ.

Гипотеза

Человек в своей жизни не может обойтись без дробей.

Объект исследования

Обыкновенные и десятичные дроби

Предмет

Математика и информатика

Вывод

В своей работе мы показали, что область применения дробей широка. Начиная с древнейших времён человек применяет дроби для измерений, записи нот, денежных расчётов. В современных ЭВМ используют двоичную систему счисления для записи дробных чисел.

Цель

Углубить свои познания в области математики – узнать историю появления дробей, их значение в жизни человека, область применения. Для этого необходимо ознакомиться и изучить способы записи дробных чисел в древности у разных народов, применение и запись дробных чисел в двоичной системе счисления, музыке.

Введение.

1. История возникновения обыкновенных дробей.

1.1. Дроби в Египте.

1.2. Дроби Китая.

1.3. Дроби Вавилона.

1.4. Дроби в Древнем Риме

1.5. Дроби в Древней Греции.

1.6. Дроби в Древней Индии

1.7. Дроби на Руси.

2. История возникновения десятичных дробей.

3 Применение дробей.

4. Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления.

Заключение

На уроках математики в 6 классе мы изучаем все действия с обыкновенными дробями, а на уроках информатики мы научились переводить натуральные числа в двоичную систему счисления. Нас заинтересовали следующие вопросы: «Откуда к нам пришла двоичная запись дробей?», «Какова история возникновения дробей?», «Как перевести в двоичную систему счисления дробное число?». Поэтому перед нами встала задача – выяснить связь дробных чисел и двоичной системы счисления.

Дробные числа встречаются в нашей повседневной жизни, с ними приходится иметь дело в бухгалтерских и финансовых отчётах и многом другом. Систематизация огромных чисел, изучение их является актуальной в связи с развитием информационных технологий.

Основные цели нашей работы заключаются в следующем:

 углубить свои познания в области математики и информатики;

 познакомиться со способами записи дробных чисел у разных народов;

 научиться переводить дробные числа в двоичную систему.

В ходе работы мы выяснили, что дробные числа появились как потребность людей в измерениях. Они использовались в качестве мер площадей, денежных единиц, в музыке. В прошлом некоторые народы при счёте применяли двоичную систему счисления. Счёт двойками в наше время сыграл большую роль при создании ЭВМ. Вычисления в двоичной системе счисления самые простые, но требуют очень длинных записей, на что тратится очень много времени.

История возникновения обыкновенных дробей

С самых древних времён для решения жизненных практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы «Сколько?»: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от уездного центра и т. д. Так появились числа. Когда человеку понадобилось придумать новые – дробные – числа, появились дроби. В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал основатель афинской Академии Платон. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский.

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. В самых древних, дошедших до нас письменных источниках – вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах – встречаются не только натуральные числа, но и дроби. С появлением натурального числа возникло представление о дроби вида , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Дроби были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, массы, площади в случаях, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз.

Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. Названия этих новых единиц измерения и стали первыми названиями дробей. Первая дробь, которую ввели раньше других, - это половина. Современные дети, не умея считать, знают, что такое половина яблока, половина конфеты, и при необходимости сообразят, как разделить пополам. Возможно, похожие ситуации помогли нашим далёким предкам понять, что такое половина.

В старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объяснялось различными соотношениями между единицами измерениями: они делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Но потом было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби. С XVII-XVIII в. они получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в большинстве стран метрической системы мер.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Дроби в Египте.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Как использовались дроби в Древнем Египте, позволила нам узнать расшифровка папирусного свитка, найденного в Луксоре в 1858 году Генрихом Риндом. Сейчас этот свиток находится в Британском музее в Лондоне. Папирус Ринда был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 году до нашей эры. Это математическая рукопись, составленная учителем для своих учеников, готовившихся стать придворными писцами.

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За половиной последовало знакомство с половиной половины, или , , , а затем , и т.д. Это так называемые единичные дроби или основные дроби – числитель их всегда выражен единицей.

Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида , где – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными или единичными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, - это. Действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.

Древние египтяне все расчёты сводили к действиям с единичными дробями, за исключением дробей и .

В папирусе есть задача: разделить семь хлебов между восемью людьми. Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придётся сделать 49 разрезов. А по-египетски задача решалась так. Дробь записывали в виде долей: ++. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб - на 8 частей (всего 17 разрезов). Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.

Они пользовались единичными дробями даже тогда, когда обращались к дробям вида или .Такие дроби они представляли как сумму нескольких единичных дробей: +, а записывали эту сумму без знаков сложения: . Проверим, верно ли египтяне выразили: : =, =, значит, + - это +=. Таким образом египтяне правильно находили сумму единичных дробей, хотя их запись необычна для нас и довольно громоздка.

В переводе на единичные дроби будут выражаться в египетской записи: . Следует отметить, что для практических целей применять единичные дроби иногда даже удобнее.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли и тогда при сложении появится дробь вида . А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от до записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

.

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло дело с делением.

А изображали дроби египтяне вот такими знаками:

- - - - - - .

Дроби Китая.

Дроби были известны и в древнем Китае. Некоторые имели даже свои названия. Половина называлась «бань», треть – «шао бань» («малая половина»), две трети – «тао бань» («большая половина»). Позднее появилось специальное наименование для четвёртой части – «слабая половина». Пользовались и десятичными дробями.

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

Дроби Вавилона.

В Древнем Вавилоне пользовались дробями , , , и т.д., но затем пошли совершенно иным путём. Они работали только с шестидесятеричными дробями, т.е. с дробями, у которых знаменатель 60: 60·60, 60·60·60. Такие дроби для вавилонян были удобны, так как их система счисления была шестидесятеричная. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными в десятичной системе, и дробями, записанными в шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было совсем уж плохо – попробуйте, например, сложить или умножить дроби.

Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с. Вместо слов «шестидесятые доли», «три тысячи шестисотые доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли наши слова «минута» (по латыни «меньшая») и «секунда» (по латыни «вторая»). Так что вавилонский способ обозначения дробей сохранил своё значение до сих пор.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Дроби в Древнем Риме

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс, а также была денежной единицей. Двенадцатую долю веса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью – весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути или прочёл пять унций книги. Имелось в виду, что пройдено пути или прочтено книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия асса – «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семикс» - половина асса, «секстанс» - шестая его доля, «семиунция» - полунции, то есть асса, «сескунция» - асса, «бес» - асса. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса ( асса) и секстанса (унции, то есть асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателем 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и.т.д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асс на унции и т.д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не «лихва составит 16 сотых суммы долга», а «на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». И сказано то же самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты всё-таки применяются и в финансовых расчётах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли ещё и промилли – так называли тысячные доли (по-латыни «про милле» - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначаются знаком %, промилли обозначают ‰.

Дроби в Древней Греции

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие учёные считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

Из-за того, что греческие учёные не признавали дробных чисел, у них возникли затруднения с измерением величин. Греческий математик не мог сказать, что длина одного отрезка втрое больше другого отрезка. Ведь эти длины могли оказаться дробными числами, а потому применять к ним операцию умножения было нельзя. Пришлось греческим учёным придумывать способ, как обходиться в науке без того, чтобы выражать длины, площади и объёмы числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «чёрному люду». Купцы и ремесленники спокойно делали это, не обращая внимания на умствования учёных. Но, старая пословица гласит: «Гони природу в дверь – она влетит в окно». Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали «с заднего хода».

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Для записи обыкновенных дробей древние греки применяли порядок, обратный нашему. Дробь они записывали в перевёрнутом виде. Знаменатель 5 они писали вверху, а числитель 3 – внизу. В V в. до н.э. греки умели выполнять с дробями сложение, вычитание, умножение и деление.

Дроби в Древней Индии

Учёные Древней Индии стали применять дроби довольно рано. Первоначально они пользовались только единичными дробями, но уже в записях IV в. до н.э. у них встречаются дроби , и им подобные.

В I в. нашего летоисчисления в Индии стали записывать дроби так же, как это делают теперь, но без дробной черты. Они писали 1 и 7 вместо

2 8

и соответственно. Уже в то время индийцы знали все правила действий с обыкновенными дробями. Им мы обязаны развитию идеи обыкновенных дробей. У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Первым, кто применил ныне принятую запись дробей с разделительной чертой, стал итальянский математик Фибоначчи. Однако дробная черта стала общеупотребительной лишь в XVI в. Потребовалось свыше 200 лет, чтобы принять современную запись. У Фибоначчи запись с дробной чертой встречается в «Книге абака», появившейся в 1202 г.

Дроби на Руси

В Древней Руси дроби называли долями, а затем ломаными числами. Отдельные дроби называли весьма своеобразно: - половина, или полтина, - четь, – полчети, – полполчети, – полполполчеть (малая четь), – треть, – полтрети, – полполтрети, – полполполтрети (малая теть), – седмина, – пятина, – десятина. Ещё в XVII в. дроби записывали при помощи букв славянского алфавита и только в XVIII веке перешли на современные цифры. Интересно, что в России первое упоминание о переместительном (коммуникативном) законе умножения встречается в рукописи XVII в. в связи с умножением дробей. В ней сказано: «Веда и доли из доли умножение как из умножай придёт . Також из тож ». На этом примере видно, что от перемены мест множителей произведение не меняется.

История возникновения десятичных дробей

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

В III веке в Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы:

1 лан = 10 цянь = 10² фэнь = 10³ ли = 10⁴ хао = 10⁵ сы = 10⁶ хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае, как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Знакомство высокообразованного математика и астронома аль-Каши с шестидесятеричными дробями и с десятеричной позиционной системой Индии навело на мысль применить десятеричную позиционную систему к дробям. Он первым начал разрабатывать этот раздел в науке. Аль-Каши стал записывать дроби в одну строку с числами в десятеричной системе. Чтобы отделять целое число от десятеричного, он пользовался вертикальной чертой или чернилами разного цвета; например, целое число записывал чёрными чернилами, а дробные знаки – красными.

В Европе о трудах аль-Каши долгое время не знали. Потребность же в более простых вычислениях с дробями с развитием науки и культуры росла, математики настойчиво искали пути решения этой проблемы. В книге «Математический канон» французского математика Франсуа Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так: 2¹³⁵⁴³⁶ – дробная часть подчёркивалась и записывалась выше строки целой части.

В 1585 году, независимо от аль-Каши, нидерландский учёный Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чём написал в своей книге «Десятая». Это маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. С.Стевин ещё не пользовался запятой, но писал дробные знаки в одну строку с цифрами целого числа. При этом он нумеровал десятичные знаки, вписывая порядковые номера в окружности рядом с цифрой. Например, число 12,761 он записывал так:

0 1 2 3

12 0 7 1 6 2 1 3 или 12 7 6 1

В первом примере вместо запятой стоит нуль в кружке, десятые доли обозначены знаком 1 , сотые – 2 и т.д. Во втором примере цифры в верхней строке указывают, сколько нулей содержит предшествующий десятичный знак (семь десятых, две сотых и шесть тысячных).

Приведём один из примеров сложения десятичных дробей из руководства С.Стевина.

0 1 2 3

2 7 8 4 7

3 7 6 7 5

8 7 5 7 8 2

9 4 1 3 0 4

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. В России впервые о десятичных дробях было сказано в «Арифметике» Магницкого.

Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Применение дробей

Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обычно люди не слышат её из-за суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её при жизни.

Его ученики – пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, на сколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…

Так дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотой записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые.

Дети, обучающиеся в музыкальной школе, с семилетнего возраста знают, что, что – это три четверти, и что в одной половине восемь шестнадцатых. Разучивая новую пьесу, они вслух отсчитывают каждую ноту в такте («раз и, два и…») даже и не подозревая, что считает обыкновенные дроби. Таким образом, ритмический рисунок любого музыкального произведения, созданного европейской культурой, каким бы сложным он ни был, определяется двоичными дробями.

Присутствие дробей мы видим в единицах измерения площадей. В «Русской правде» - законодательном памятнике, который относится к XI-XIII векам, употребляется земельная мера плуг. Это была мера земли, с которой платили дань. Половина этой площади, получившая название десятины, стала основной мерой площади в дореволюционной России. Другая единица для измерения площади, равная половине десятины называлась четверть (четь). Десятина делилась на 2 четверти (чети), четверть в свою очередь – на 2 осьмины, осьмина – на 2 полуосьмины, полуосьмина – на 2 четверика и так далее по двоичной системе: четверик содержал 2 полчетверика, 4 пол-пол-четверика, 8 пол-пол-полчетвериков. «Книга сошного письма» даёт ряд примеров вычислений с дробями: «Пол-полтрети и пол-пол-полтрети – итого: полчетверти сохи». Это значит: ··+···=·

В Киевской Руси мера зерна – кадь делилась на 2 половника или 4 четверти, или 8 осьмин. Впоследствии четверть делилась на 8 четвериков, четверик – на 8 гарнцев.

Денежные единицы также делились. В Киевской Руси денежной единицей была гривна. Гривну делили на 20 ногат или на 25 кун, а куну – на 2 резаны.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Любопытно, что двоичными дробями пользовались, по сути дела, в Древней Руси, где были такие дроби, как половина, четь, пол-чети, пол-пол-чети и т.д.

Сейчас в ЭВМ используют двоичные дроби. В двоичной системе счисления единица каждого следующего разряда вдвое больше единицы предыдущего разряда. Это позволяет при записи чисел пользоваться лишь двумя цифрами: 0 и 1. например, запись 100111 означает число 1·32+0·16+0·8+1·4+1·2+1·1=39. хотя получается более длинная запись, но нужно всего две цифры.

Для того чтобы перевести целое число в двоичное нужно последовательно выполнять деление исходного целого числа и получаемых целых остатков на 2 до тех пор, пока не получится число, меньшее 2. Затем записать полученные остатки в обратной последовательности.

Выполним перевод, например, числа 19 в двоичную систему счисления.

19 : 2 = 9 (ост.1)

9 : 2 = 4 (ост.1)

4 : 2 = 2 (ост.0)

2 : 2 = 1 (ост.0)

В результате получим двоичное число 10011₂.

Чтобы перевести правильную десятичную дробь в двоичную нужно: последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на 2 до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений. Затем записываем полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему.

0,75 ·2 =1,5 Целая часть произведения равна 1, дробная часть – 0,5. Дробную часть умножаем на 2, т.е. 0,5 ·2 = 1. Целая часть произведения равна 1, дробная – 0. Умножение на этом закончено. Записываем результат – 0,11₂.

Переведём десятичное число 47,25 в двоичную систему счисления. Сначала выполним перевод целой части данного числа.

47 : 2 = 23 (ост.1)

23 : 2 = 11 (ост.1)

11 : 2 = 5 (ост.1)

5 : 2 = 2 (ост.1)

2 : 2 = 1 (ост.0)

В результате целая часть число равна 101111₂. Дробная часть равна 0,25. выполним перевод этой дроби в двоичную систему счисления.

0,25 · 2 =0,5 Целая часть произведения равна 0, дробная – 0,5. Дробную часть 0,5 умножаем на 2, т.е. 0,5 · 2 = 1. Целая часть равна 1, дробная – 0. Умножение на этом закончено. Записываем результат – 0,01₂. В результате данное число запишется как 101111,01₂.

Заключение

В результате проделанной работы мы узнали историю возникновения обыкновенных и десятичных дробей, что в древности у многих народов существовала двоичная система счисления, которая в настоящее время используется для кодирования числовой информации. Более простые записи получаются в двоичной системе счисления, где количество цифр небольшое, но они очень громоздкие. Познакомившись с переводом десятичных чисел в двоичную систему счисления, мы теперь сможем применять эти знания на уроках информатики.