Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач

1. Этап мотивации к учебной деятельности.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

На экране (на слайде №1 презентации) эпиграф к уроку: «Истинное предназначение математики заключается не только в решении абстрактных задач, но и в умении применять на практике, и только тогда она выполняет свое основное предназначение - как средство познания»  Ш. Музенитов.

-согласитесь, ребята, у нас сегодня прекрасный эпиграф к уроку!

- Проанализируйте, и скажите, что за последовательности чисел на экране?(слайд2)

- А как вы определили, что это арифметические и геометрические прогрессии?

- Назовите разность арифметической прогрессии (или знаменатель геометрической прогрессии) в каждой последовательности.

- Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот на урок нас поведет
Красивый лозунг
"ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД"(слайд3)

- Интересно, а откуда наш сегодняшний лозунг?

- Историческая справка: термин "прогрессия" был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio - "движение вперед".

- Как уже прозвучало в стихотворении, мы уже изучили темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». А в жизни встречаются прогрессии? Где, приведите примеры.

Ещё раз открываю слайд с эпиграфом к уроку (слайд4):

-А если ещё вчитаться в слова эпиграфа к уроку? Как можно назвать тему сегодняшнего урока?

--Подумайте: какова цель вашей учебной деятельности сегодня на уроке? (слайд 5)

Дети наверняка обратят внимание на эпиграф на доске ещё на перемене и пусть не все, но некоторые вчитаются в эти слова.

Изучают последовательности чисел на экране (прогрессии)

- Синие - арифметические прогрессии, красные - геометрические прогрессии.

- Согласно определениям арифметической и геометрической прогрессий.

Рассказывают определения.

Устно выполняют задание.

Если кто – то из учащихся знает, то рассказывает, откуда этот лозунг.

Ученики перечисляют области практического применения прогрессий. Некоторые подсказывает учитель.

- «Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач».

-Научиться решать практические задачи с применением формул арифметической и геометрической прогрессий.

Методический комментарий. На данном этапе происходит включение в деятельность, активизация внимания, мотивация на учебную деятельность. Мотивирование учащихся через наблюдение разнообразных знаково-символьных объектов. Приём наблюдения привлекает и направляет внимание всех детей на решение познавательной задачи. Происходит стимулирование поиска вариантов ответов на основе уже имеющихся знаний – анализ, припоминание, интерпретация информации, обеспечение ситуации успеха для самых слабых учащихся (познавательные, личностные УУД).

В процессе выполнения задания учащиеся развивают коммуникативные навыки (владение монологической речью, организация учебного сотрудничества) (коммуникативные УУД)

1. Этап актуализации знаний и пробного учебного действия.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Фронтальный опрос на повторение основных формул арифметической и геометрической прогрессий (Слайды6 – 8)

Обратить внимание на то, что эти формулы есть в Справочных материалах, разрешённых на ОГЭ.

1. Небольшая разминка перед решением задач (устная работа) (слайды 9-10):

1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2 (ложно).

2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 (истинно).

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой a₁=-4,2, d=0,4 равен 0,2 (ложно)

4. Для нахождения любого члена арифметической прогрессии достаточно знать: a₁, d и n (истинно).

5. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией (ложно).

6. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией (ложно).

Называют формулы и находят их в Справочнике.

В предложенных заданиях ученики должны оценить истинность высказывания.

Методический комментарий. На данном этапе обеспечивается ситуации успеха для самых слабых учащихся, включение в учебный процесс учащихся и актуализируются и фиксируются повторяемые понятия, развиваются коммуникативные навыки (познавательные, личностные, коммуникативные УУД). Фиксируется ситуация, демонстрирующая недостаточность имеющихся знаний. Активизируются мыслительные операции, необходимые для дальнейшей работы. Осуществляется пробное учебное действие, которое приводит к созданию проблемной ситуации.

1. Этап постановки проблемы.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

На экране задача№1 (задача на арифметическую прогрессию) (Приложение 1): Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий – на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной 12 м (слайд11).

- Проанализируйте задачу и сформулируйте ваше предложение по решению задачи.

Ученики выдвигают свои предположения.

-Вывод: выработать алгоритм решения.

Методический комментарий. Дети рассуждают, учатся владеть монологической речью, формулируют собственное мнение, активную ученическую позицию (коммуникативные УУД).

1. Этап построения проекта выхода из затруднения.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

- Озвучьте алгоритм действий по выходу из затруднения

Алгоритм решения задачи фиксируется на экране (слайд 11) (или Приложение 2)

-Определить, какая прогрессия в задаче;

- Определить, что дано (a₁, d, q, a_n или S_n), что надо найти(a₁, d, q, a_n или S_n);

Методический комментарий. На данном этапе выбирается способ реализации цели, строится план и определяются средства достижения цели. В ходе работы у детей есть возможность рассуждать, воспринимать информацию на слух, формулировать собственное мнение, учиться владеть монологической речью (коммуникативные УУД).

На данном этапе формируется готовность и способность вести диалог с другими людьми и достигать в нём взаимопонимания (личностные УУД); выстраивается прогностическая модель ожидаемого результата работы на уроке.

1. Этап реализации построенного проекта и первичного закрепления во внешней речи.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Предлагает начать работу в соответствии с алгоритмом.

И предлагает учащимся представить результаты своей работы.

В ходе анализа самостоятельно строят решение задачи 1.

Один ученик оформляет решение на доске, а остальные сверяются с решениями в тетрадях.

Методический комментарий. В ходе работы у детей есть возможность рассуждать, анализировать текс задачи, аргументировать, выдвигать гипотезы (познавательные УУД), осуществлять контроль и самоконтроль, вносить коррективы в свои действия (регулятивные УУД). Учащиеся формулируют собственной мнение, учатся владеть монологической речью, развивают способность вести дискуссию, контролируют действия партнёров (коммуникативные УУД).

Работа выстроена таким образом, что позволяет слабым учащимся не испытывать страха проверки и неудачи, в случае затруднения получить необходимую помощь и выполнить задание.

VI. Этап закрепления алгоритма решения задачи

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Предлагается решить вторую задачу на примере первой (задача на геометрическую прогрессию): Премиальный фонд составляет 16250р. Надо разделить его между четырьмя сотрудниками, согласно доле участия каждого так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Какую премию получит каждый сотрудник?(слайд12)

Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях.

Методический комментарий. Выполнение этого задания позволяет слабым учащимся не испытывать страха проверки и неудачи, в случае затруднения получить необходимую помощь и выполнить задание. Ученик овладевает общими приёмами решения задач, умением строить рассуждения.

На этом этапе ученики приобретают опыт публичного выступления, организации сотрудничества и закрепляют во внешней речи полученное знание.

VII. Этап самостоятельного решения с самопроверкой

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Следующее задание – решение задач в виде «карусели» (Приложение 3):

-Проверим полноту усвоения материала. В каждом ряду на каждой парте по одной задаче (всего у вас на каждый ряд по 4 задачи) с готовой таблицей с пунктами алгоритма решения задачи. В паре каждая парта заполняет первый пункт алгоритма и передаёт паре, сидящей за ними (последняя парта – первой); все заполняют второй пункт алгоритма.

-У вас на партах ручки с разными пастами, поэтому легко можно будет проследить решение каждой пары.

Работа «карусели» продолжается до тех пор, пока не будут заполнены все пункты таблицы.

Решения: слайд 13.

Фактически происходит групповая работа по рядам. Ученики самостоятельно анализируют имеющиеся данные, вписывают в таблицу.

Более слабым одноклассники в группе при необходимости оказывают индивидуальную помощь.

Затем сверяются с решением на экране.

Методический комментарий. На этом этапе формируется у учащихся умение как самостоятельной работы и самоконтроля, самооценки, так и работы в парах и в группах. При работе в «карусели» каждый работает не только в парах, но и является звеном одной большой группы – своего ряда (регулятивные УУД).

Формируется готовность и способность вести диалог с другими людьми и достигать в нём взаимопонимания (личностные УУД).

VIII. Этап фиксации нового знания и оценки собственной деятельности.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

- Подведём итоги урока по листам рефлексии (Слайд 14) (Приложение 4)

Организует самостоятельную работу учащихся и обсуждение итогов урока.

Работают с листами рефлексии, самостоятельно оценивают качество своей работы на уроке, обмениваются мнениями.

Методический комментарий. Подведение итогов урока позволяет детям произвести самооценку деятельности (регулятивные УУД).

IX. Этап домашнего задания.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

-Найти в сборниках по подготовке к ОГЭ практические задачи, которые решаются с помощью формул арифметической или геометрической прогрессий и решить их.

Методический комментарий. Организуется согласование домашнего задания. Домашнее задание показывает заинтересованность детей. Домашнее задание позволяет учащимся реализовать свои творческие способности.

Дано:

Определить, в задаче арифметическая или геометрическая прогрессия:

(a_n) -

Первые несколько членов прогрессии:

a_1, a2, a3,…

Разность или знаменатель прогрессии:

d (в арифметической)=

или

q(в геометрической)=

Остальные элементы (a_n, S_n, n):

Найти:

Какой элемент прогрессии надо найти: a_1, a_n, S_n, n или d (или q)?

Необходимые формулы:

Если вы запомнили алгоритм, поставьте себе……………………………...1 балл

Если вы умеете применять формулы прогрессий……………………….…1 балл

Если вы активно работали на уроке поставьте себе ……………………..…1 балл

Если вы правильно ответили на большую часть устных заданий………….1 балл

За каждое правильное решение задачи ………………………………по 1 баллу

ВСЕГО: