Класс: 10. Алгебра и начала математического анализа
Тема урока. Иррациональные уравнения
Цели урока.
Образовательная: ввести понятие иррациональных уравнений; отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.
Развивающая: развивать мышление учащихся, умение делать выводы, применять теоретические знания для решения задач; развивать самостоятельность, познавательный интерес.
Воспитательная: способствовать воспитанию любознательности; создание положительного эмоционального фона на занятии.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий.
Ход урока
Слова учителя. Великий китайский мудрец Конфуций сказал: «Три вещи никогда не возвращаются обратно: время, слово и возможность. Поэтому не теряйте время! Выбирайте слова! И не упускайте возможность».
Воспользуемся его советом и продолжим постигать науку математику.
Актуализация опорных знаний.
На доске записаны уравнения.
х2 - 3x =4
х2+11+ =42
=х-1
+ =6
- =
Что объединяет уравнения, записанные на доске?
Ученик. Все они содержат иррациональность.
Именно такими уравнениями, в которых под знаком корня, или, иначе, радикала, содержится переменная мы с вами и будем сегодня заниматься. Такие уравнения называются иррациональными.
Слова учителя. Итак, запишем тему урока. Иррациональные уравнения.
А теперь рассмотрим записанные на доске уравнения. Чем они отличаются?
Уравнения 2 и 3 содержат один радикал, 3 и 4 – два.
Это означает, что и методы решения уравнений будут разные.
Первый ученик решает на доске уравнение.
х2+11+ =42
Переменная здесь содержится под знаком корня. Как можно от него избавится?
Сделать замену
=t, t≥0, тогда х2+11=t².
Уравнение примет вид
t² + t 42=0
по теореме обратной теореме Виета
Последнее не удовлетворяет ограничениям на t.
Вернемся к исходной переменной
=6.
Второй способ решения. Возведем обе части в квадрат.
х2+11=36,
х2=25
х=±5.
Ответ: ±5.
Второй ученик решает уравнение.
=х-1
Слова учителя. Это уравнение иррациональное, так как содержит переменную под знаком корня.
И что бы избавиться от радикала, возведем обе части уравнения в квадрат.
1+4х-х2=(х-1)2.
1+4х-х2=х2-2х+1,
2х2 -6х=0,
х(х-3)=0
Сделаем проверку.
1) х=0 1=-1 – не верно
2) х=3 2=2 – верно
Лишний корень появился, так как мы произвели неравносильную операцию – возведение в квадрат выражения, знака которого мы не знали.
Чтобы перейти к равносильному уравнению мы должны знать знак левой части.
В четную степень можно возводить только неотрицательные величины. Поэтому левая часть должна быть неотрицательной
х=3.
Третий ученик решает уравнение с учетом ОДЗ:
+ =6
х≥3.
15+х+2 +3+х=36,
2х+18+2 =36,
=9-х,
х=1 ОДЗ.
Ответ: 1
Четвертый ученик решает уравнение:
- =
С чего начнем?
Ученик: с ОДЗ.
-13 -4 1/2
х .
Возвести в квадрат сразу обе части уравнения нельзя, так как не знаем знака левой части. Для этого перенесем в правую часть.
Уравнение примет вид.
= +
После чего возводим обе части в квадрат.
Подводим итог урока.
Опорный конспект по теме
Иррациональные уравнения
Иррациональное уравнение – уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Основными методами решения иррациональных уравнений
являются следующие:
- метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.
При возведении обеих частей иррациональных уравнений в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании этого метода необходимо провести проверку
- метод введения новых переменных.
Алгоритм решения уравнений
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.
Домашнее задание
Тест
Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений
1.
В) [6;10]. Б) [20; 27]. Н) [11;18]. М) [30;+∞).
2.
е) [20;25]; и) [1;6]; у) [10;16]; а) [17;18]
3.
ч) [-5; -3]; ф) (3; 4); р) [-2; 0]; с) (2; 3)
4.
а) [2; 4]; е) (-5; 2) и) (4; 16) ю)(- ∞; - 4)
5.
к) (3; 5); м) [- 5; - 2]; п) (-2; 2]; л) (10; 70)
6. 2
а) [0; 2]; 0) (3; 81); у) (-5; -2); е) (-2; 0).
Составьте слово из полученных букв. Это слово «Начала».