Конспект урока «Равносильность неравенств»

Тема урока: «Равносильность неравенств»

Цели урока:

- формировать навыки равносильных переходов при решении неравенств, их коррекция и

закрепление;

- создавать условия для закрепления, повторения и углубления знаний.

Задачи урока:

Образовательная:

• ввести понятие равносильности неравенств, рассмотреть теоремы равносильности,

• рассмотреть примеры равносильных переходов при решении неравенств с одной переменной;

• закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении неравенств с одной переменной;

• способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

Развивающие:

• развитие логического мышления, познавательного интереса;

• формирование математической речи, умения анализировать и сравнивать, делать выводы;

• развитие навыков работы над проектами;

• развитие приемов умственной деятельности, умения искать рациональный способ решения поставленной задачи;

• повышение информационной культуры учащихся, интереса к предмету;

• развитие потребности к самообразованию, умение вырабатывать собственную позицию (обосновывать свой решения, свой результат);

воспитательные:

• обучение эстетическому оформлению записи в тетради и на доске,

• воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе;

• обучение умению выступать перед аудиторией и выслушивать других;

• повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;

воспитание уважения друг к другу, коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу.

Оборудование:

-компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока, буклеты.

План урока

1. Организационный момент

2. Постановка цели и задач урока

3. Актуализация опорных знаний и их коррекция:

а) математический диктант, работа по карточкам;

б) повторение теоретических сведений по изучаемой теме, проверка домашнего задания.

4) Изучение и закрепление материала:

а) равносильность неравенств;

б) системы и совокупности неравенств.

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

6) Домашнее задание

Ход урока

1) Организационный момент

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)

2) Постановка цели и задач урока

Ребята, я предлагаю сегодня на уроке привести в систему знания и расширить представление о равносильности неравенств. Дьёрдь По́йа сказал: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Где есть желание, найдется путь!» А я уверена, что у вас есть желание узнать новое, анализировать, делать выводы, найти свой путь решения и расширить знания, которые вам понадобятся для успешной сдачи ЕГЭ. Учитель вместе с учащимися формулирует цели и задачи урока. Здесь мы сначала дадим определение равносильных неравенств и приведем примеры. Дальше перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств и докажем их. А в заключение выясним, почему при решении неравенств нужно использовать только равносильные преобразования.

3)Актуализация опорных знаний и их коррекция

а) Математический диктант, работа по карточкам

Математический диктант (слайд 2):

Запишите ответы к неравенствам (слайд 3):

1) х² –5х

По окончании проверка осуществляется в парах по ответу: (0; 5) (слайд 4)

Во время диктанта трое учащихся работают у доски по карточкам

б) Повторение теоретических сведений по изучаемой теме, проверка домашнего задания

- работа по домашнему заданию, проверка заданий учениками, вызвавших затруднения;

- вспоминают определение решения неравенства, частного и общего решения неравенства

(учащиеся приводят примеры решений).

Решением неравенства называется всякое действительное значение неизвестного, при котором неравенство справедливо. Решить неравенство - значит найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым, т. е. существуют неравенства, которые не имеют решений.

1. Изучение и закрепление материала

а) Равносильность неравенств

Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства. Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства (далее учащиеся записывают определения в тетради).

Определение1. Два неравенства с одной переменной f(x)g(x) и p(x)h(x) называют равносильными, если их решения совпадают.

Определение2. Если общее решение неравенства f(x)g(x) содержится в общем решении неравенства p(x)h(x), то второе неравенство называют следствием первого (слайд 5).

Например (слайд 6):

х²9 –это неравенство - следствие неравенства 2х6.

2х²

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства. Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Итак, приступим (учащиеся записывают краткие формулировки теорем) .

Теорема1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному неравенству.

f(x)g(x) f(x) - g(x)0 (слайд 7)

Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием. К примеру, оно позволяет от неравенства 3x12+5х перейти к равносильному неравенству 3x – 5х12.

Теорема 2.Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному.

f(x)g(x) (f(x))^2n-1 (g(x))^2n-1

Пример: (слайд 8)

Теорема 3. Показательное неравенство а^f(x) а^g(x) равносильно:

а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1,

б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0

а^f(x) а^g(x) f(x)g(x), если а1 и а^f(x) а^g(x) f(x)g(x), если 0

Примеры: и (слайд 9)

Теорема4.а)Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, о получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному.

б) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному.

Если h(x)0 на ОДЗ неравенства f(x)g(x), то f(x)g(x)

Если h(x)f(x)g(x), то f(x)g(x)

Примеры: 2х4 х2 и х(-х²-1) -х²-1 х

Теорема5.Если обе части неравенства f(x)g(x) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень получится неравенство того же смысла (f(x))²ⁿ (g(x))²ⁿ, равносильное данному в его ОДЗ.

Если f(x)≥0 и g(x)≥0, то f(x)g(x)⇔ (f(x))²ⁿ (g(x))²ⁿ

Пример: х²≥9⇔х≥3 при х≥0 (слайд11)

Теорема 6. Пусть Х – решение системы неравенств

Тогда логарифмическое неравенство равносильно на множестве Х:

а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1,

б) неравенству противоположного смысла f(x)g(x), если 0

Пример: ,

(слайд12)

Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является равносильным преобразованием неравенства.

Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент, касающийся замены на именно тождественно равное выражение

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств? (слайд 13)

Возьмем неравенства

1) x−2 и - . Решением первого является промежуток (−2, +∞), а второго – (-∞; -2) .

2) и хРешением первого является промежуток (0; 5), а второго – (-∞; 5)

Вывод: Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является сужение или расширение ОДЗ. Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов

Решим неравенство , применяя теоремы равносильности

Ответ: [1; 2] ) (слайд 14). (У доски решает один из учащихся)

б) Системы и совокупности неравенств

Определение3. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все одинаковые частные решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств называют решением системы неравенств.

Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему (неравенства записывают, объединяя вместе фигурной скобкой).

Пример: Решите систему неравенств. (Ответ: )) (слайд16)

Определение4. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств называют решением совокупности неравенств.

Решение системы неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность (неравенства записывают, объединяя вместе квадратной скобкой).

Пример: Решите совокупность неравенств. (Ответ: )) (слайд 17)

Работа по учебнику - №28.39(б) (У доски решает один из учащихся)

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

Понятно, что, кроме равносильных преобразований неравенств, есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

При обобщении изученного материала обучающие отвечают на вопросы:

Что нового было на уроке?

Больше всего затруднений вызвало…

Для меня непонятно было… (слайд18)

6) Домашнее задание

По учебнику решить - №28.1(б), 28.3(б,в), 28.10(б), 28.12(в), 28.41(б), 28.49 (а) (слайд 19)

Творческое задание для группы учащихся – привести примеры к каждому определению и теореме и сделать презентацию.