Конспекты уроков на тему: "Логарифмы"

Класс: 10.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Учебник: Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Тема урока: Понятие логарифма.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Образовательные: формирование знаний учащихся о понятие логарифма при помощи графических соображений; формирование знаний о простейшем свойстве логарифма; формирование умения вычислять значение логарифма по определению.

Развивающие: развитие логического мышления, внимания, умений делать выводы, умений видеть один и тот же факт в различных ситуациях; развитие у учащихся математической терминологии, умения грамотно читать математические записи.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету математики, трудолюбия, аккуратности и четкости в записях учащихся, привитие чувства товарищества и взаимопомощи, математической культуры.

Методы обучения: проблемный, наглядный, словесный.

Оборудование: учебник.

Структура урока:

1. Организационный этап - 2 мин.

2. Актуализация знаний - 5 мин.

3. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся - 6 мин.

4. Изучение нового материала - 7 мин.

5. Первичное закрепление нового материала - 10 мин.

6. Повторение – 5 мин.

7. Итоги урока - 3 мин.

8. Информация о домашнем задании - 2 мин.

Ход урока.

I. Организационный этап.

Приветствие. Организация рабочих мест. Проверка готовности учащихся к уроку.

II. Актуализация знаний.

Устная работа.

1. Представьте в виде степени с основанием 5.

а) 125; б) 0,2; в) ; г) 1; д) ; е) .

2. Двое учащихся у доски: схематично изобразить график показательной функции и перечислить ее свойства для

3. Решите уравнение:

III. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Последнее уравнение вызовет затруднение у учащихся, предложить им решить данное уравнение графически.

(Понятие логарифма вводится при помощи графических соображений (как понятие корня п-ой степени). Таким образом, чтобы ввести понятие логарифма, обратимся к решению показательных уравнений графическим методом).

Учащиеся с преподавателем ищут ответы на следующие вопросы:

- Что представляет собой левая часть уравнения?

- Что представляет собой правая часть уравнения?

- Какие способы решения уравнений известны?

- В чем заключается графический способ решения уравнения?

Графики функций    и y = 5 пересекаются в одной точке. Ясно, что уравнение имеет один корень, заключенный в промежутке от 2 до 3. Точное значение корня по чертежу определить нельзя. 

Возникает необходимость, как и в случае решения степенных уравнений, ввести новый символ математического языка: log ₂ – логарифм по основанию 2.

Тема нашего сегодняшнего урока «Понятие логарифма»

IV. Изучение нового материала.

Определение логарифма.

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получилось число b.

Символьная запись:

log _a b = x, b 0, a 0, a  1  a^x = b.

Учащиеся должны четко усвоить, что логарифм это показатель степени. Это даст возможность алгоритмизировать решение простейших показательных уравнений методом уравнивания показателей.

Пример: Решить уравнение 3^х = 11. Мы должны обе части равенства представить в виде степени с основанием 3.

Запишем: 3^х = 3^

В пустом квадратике должен быть показатель степени, значит, там будет логарифм по основанию 3 числа 11 (так как по определению нам нужен показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 11).

Значит, 3^х = ;

x = log ₃ 11.

Отсюда получаем свойство логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию e называют натуральным логарифмом числа b и обозначают ln b, т. е. вместо пишут ln b.

Логарифмом положительного числа b по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа b и обозначают lg b, т. е. вместо пишут lg b.

V. Первичное закрепление нового материала.

Решить упражнения из учебника. №5.2 (устно), №5.3 (б, г, д, ж, и, е), № 5.4 (б, г, е, з, и), № 5.6, №5.7 (б, г, е, ж, з, и), №5.8 (в, е, и, м)

Решение:

№5.2. Докажите, что:

№ 5.3. Вычислите:

№5.4. Вычислите:

№ 5.6. Вычислите:

№5.7. Вычислите:

№5.8. Вычислите:

VI. Повторение.

Задание на повторение свойства степени с рациональным показателем.

VII. Итоги урока.

Вопросы:

- Что называют логарифмом положительного числа b по основанию a (a0, a≠0)?

- Существует ли логарифм нуля; отрицательного числа?

- Логарифм по какому основанию называют натуральным? Как обозначают этот логарифм?

- Логарифм по какому основанию называют десятичным? Как обозначают этот логарифм?

VIII. Информация о домашнем задании.

П.5.1 (учить), № 5.3 (а, в, е, з), №5.4 (а, в, д, ж), №5.6 (а, б, ж, е), № 5.7 (а, д, в), №5.8 (а, б, г, д)

Класс: 10.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Учебник: Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Тема урока: Свойства логарифмов.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Образовательные: знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества и применять их при решении упражнений; сформулировать свойства логарифмов; научится различать свойства логарифмов по их записи; научится применять свойства логарифмов при решении упражнений.

Развивающие: создание условий для развития интеллектуальных умений, умений формулировать проблему, выдвигать гипотезы, анализировать, сравнивать, делать выводы; закрепление вычислительных навыков; продолжить работу над математической речью, над развитием внимания, логического мышления

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, чувства ответственности и общематематической культуры, формирование коммуникативной компетенции в ходе активных диалогов, воспитание чувства удовлетворенности и успеха от интеллектуального труда.

Методы обучения: наглядный, словесный, частично поисковый.

Оборудование: учебник, карточки с заданиями.

Структура урока:

1. Организационный этап - 2 мин.

2. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся - 5 мин.

3. Актуализация знаний – 7-8 мин.

4. Изучение нового материала - 8 мин.

5. Первичное закрепление нового материала - 12 мин.

6. Итоги урока - 3 мин.

7. Информация о домашнем задании – 2 мин.

Ход урока.

I. Организационный этап.

Приветствие. Организация рабочих мест. Проверка готовности учащихся к уроку.

II. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

- С каким понятием мы познакомились на прошлом уроке? Дайте его определение?

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получилось число b.

- Какова символьная запись определения логарифма, запишите её на доске? (Один из учащихся записывает определение на доске)

Символьная запись:

log _a b = x, b 0, a 0, a  1  a^x = b.

- Вычислите (устно):

Как вы думаете, можно ли логарифмы складывать, вычитать, преобразовывать?

- Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
(если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: свойства степени). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (ответ: свойства логарифмов))

Учитель:

Сформулируйте тему сегодняшнего урока.

Итак, тема урока: «Свойства логарифмов». (Записывают тему урока: учащиеся - в тетради, а учитель – на доске)

Учитель: Подумайте и предположите, какова цель урока?

Цель урока: изучить свойства логарифмов и научиться их применять на практике.

Прежде чем мы перейдем к изучению новой темы напишем маленькую самостоятельную работу на карточках.

III. Актуализация знаний.

Самостоятельная работа по теме: «Вычисление логарифмов»

IV. Изучение нового материала.

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

(3)

Учащиеся уже четко осознают, что логарифм это показатель степени, отвечающий определенным условиям. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Отсюда следует и способ доказательства теоремы – введение новых переменных для перехода от логарифмов к степени.

Обозначим log _a bc = x; log _a b = y; log _a c = z.

Значит, a^x = bc; a^y = b; a^z = c.

Имеем: a^x = a^y · a^z. По свойству степени: a^x = a^{y + z}, следовательно, x = y + z, то есть log _a bc = log _a b + log _a c.

Приводим примеры использования данной теоремы для преобразования логарифмических выражений.

Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

(4)

Доказательство теоремы учащиеся могут провести самостоятельно по аналогии.

Теорема 3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

(5)

Доказательство проводится учащимися самостоятельно по аналогии с теоремами 1 и 2.

Замечаем, что все теоремы формулируются для положительных выражений, стоящих под знаком логарифма. Для теоремы 3 возможен случай, когда b r – четное число, то есть r = 2n, тогда b²ⁿ 0. Для этого случая (частного) можно использовать следующую запись теоремы.

(6)

Для положительных чисел a, b и М, таких, что а и b , справедливо также следующее равенство:

(*)

Это равенство называют формулой перехода логарифмов от одного основания к другому.

Заменив в равенстве (*) число М на число b (b≠1) и учитывая, что =1, то получим равенство

V. Первичное закрепление нового материала.

Все упражнения, выполняемые учащимися на этом уроке, направлены на усвоение трех доказанных выше теорем, а также двух изученных ранее свойств логарифмов. Следует добиваться, чтобы ученики проговаривали формулировки теорем. Это позволит избежать формализма в усвоении умений, а также типичных ошибок, таких как «логарифм суммы» и «логарифм разности».

Решить упражнения из учебника №5.11 (а, г, е), 5.12 (б, г, е), 5.13 (б, г, е), № 5. 14. (г, д, е), № 5.17(а, в, д), № 5.18 (а, в, д).

№ 5.11. Вычислите:

№ 5.12. Вычислите:

№ 5.13. Вычислите:

№ 5.14. Вычислите:

№ 5.17. Вычислите:

№ 5.18. Вычислите:

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Назовите формулу логарифма произведения (частного) двух положительных чисел.

– Назовите формулу логарифма степени?

- Назовите формулу логарифма от одного основания к другому.

VII. Информация о домашнем задании.

П 5.2 (учить), № 5.11 (б, в, д), 5.12 (а, в, д), 5.13 (а, д, е), № 5.14 (а, б, в), № 5.17 (2 столбик), № 5.18 (2 столбик).

Класс: 10.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Учебник: Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Тема урока: Свойства логарифмов.

Тип урока: урок закрепления знания.

Цели урока:

Образовательные: повторить определение логарифма; закрепить основные свойства логарифмов; способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий; различать свойства логарифмов по их записи.

Развивающие: создание условий для развития интеллектуальных умений, умений формулировать проблему, выдвигать гипотезы, анализировать, сравнивать, делать выводы; закрепление вычислительных навыков; продолжить работу над математической речью, над развитием внимания, логического мышления

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, чувства ответственности и общематематической культуры, формирование коммуникативной компетенции в ходе активных диалогов, воспитание чувства удовлетворенности и успеха от интеллектуального труда.

Методы обучения: наглядный, словесный, частично поисковый.

Оборудование: учебник, карточки с заданиями.

Структура урока:

1. Организационный этап - 2 мин.

2. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся - 5 мин.

3. Проверка домашнего задания - 5 мин.

4. Актуализация знаний - 7 мин.

5. Закрепление изученного материала - 15 мин.

6. Рефлексия учебной деятельности - 4 мин.

7. Информация о домашнем задании - 2 мин.

Ход урока.

I. Организационный этап.

Приветствие. Организация рабочих мест. Проверка готовности учащихся к уроку.

II. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

На прошлых уроках мы познакомились с таким понятием как логарифм и выяснили какими свойствами он обладает. С целью повторения изученного материала ответьте на вопросы:

- Что называют логарифмом положительного числа b по основанию a (a0, a≠0)?

- Существует ли логарифм нуля; отрицательного числа?

- Логарифм по какому основанию называют натуральным? Как обозначают этот логарифм?

- Логарифм по какому основанию называют десятичным? Как обозначают этот логарифм?

- Сформулируйте свойства логарифмов положительных чисел, запишите их в виде равенств.

- Вычислите устно:

= = в) = г) =

Мы свами вспомнили свойства логарифмов и как вы думаете достаточно ли уделили времени на применение свойств логарифмов на практике?

(Не достаточно, вызвало затруднение вычислить последнее задание.)

Как вы думаете какая тема урока? (Сегодня на уроке мы будем продолжать применять свойства логарифмов при решении уравнений.)

III. Проверка домашнего задания.

Учащиеся по цепочки называют ответы на упражнения: № 5.11 (б, в, д), 5.12 (а, в, д), 5.13 (а, д, е), № 5.14 (а, б, в), № 5.17 (2 столбик), № 5.18 (2 столбик).

Учащиеся задают возникшие вопросы по выполнению домашней работы.

IV. Актуализация знаний.

Сейчас я вам раздам карточки с заданиями по вариантом которые в течении 5-7 мин заполняете и сдаете. Подписываем фамилию и имя.

V. Закрепление изученного материала.

Решить упражнения из учебника: № 5.19 (а, б, г), № 5.20 (в, г), № 5. 21 (а, г, ж), № 5.22 (д, е, ж, з), № 5.23 (б, г, е), №5.24 (б), №5.25.

№ 5.19 (а, б, г) Используя свойство (3) логарифмов, преобразуйте выражение:

№ 5.20 (в, г) Вычислите:

№ 5. 21 (а, г, ж) Пользуясь указанным свойством, вычислите:

№ 5.22 (д, е, ж, з) Выразите через логарифм по основанию 2 и упростите:

№ 5.23 (б, г, е) Вычислите:

№5.24 (б) Найдите значение числового выражения:

= = = = .

№ 5.25. Вычислите.

VI. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Продолжите высказывания об уроке.

На уроке я узнал(а)…

На уроке я научился(ась)…

На уроке я понял(а), что могу…

VII. Информация о домашнем задании.

П. 5.1, 5.2 (повторить) № 5.19 (д, в, е), № 5.20 (а, б), № 5. 21 (б, д, з), № 5.22 (а, б, в, г), № 5.23 (а, д, в), №5.24 (а).