Мастер класс "Решение задач на смеси, сплавы, растворы и концентрацию

«Задачи на смеси, сплавы, растворы и концентрацию»

Автор: Козлова Ирина Викторовна

• учитель математики

МКОУ Таловская СШ

Каждый человек меня в чем-то превосходит;

и в этом смысле мне есть чему у него поучиться .

Эмерсон Ральф .

ЦЕЛИ:

ЗАДАЧИ:

- Показать методику решения задач на смеси, сплавы, концентрацию с помощью прямоугольников;

- Рассмотреть нестандартные старинные решения задач на смеси, сплавы, концентрацию.

- Объяснить суть метода;

- Показать последовательность действий при решении задач на смеси, сплавы, концентрацию

Теоретическая часть

Теоретические основы

решения задач «на смеси, сплавы, растворы и концентрацию»

Примем некоторые допущения:

• Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
• При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
• Объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными .

• Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Терминология:

• процентное содержание вещества;
• концентрация вещества;
• массовая доля вещества . Всё это синонимы.

Уметь выполнять задания:

1) Представьте в виде дроби : а) 50% б) 43% в)125% г) 4,2%

2) Перевести десятичные дроби в проценты: а) 0,5 б) 0,25 в)0,07 г)1,25

3) Найти 50% от 80; 25% от 60

4) Верна ли запись?

26%=0,26; 6%=0,6; 60%=3/5; 123%=12,3; 8%=0,08; 54%=5,4

5) Решать линейные уравнения

Понятие концентрации

а)  Концентрация раствора 3 %;  (В 100 г раствора содержится 3 г вещества). в)  Молоко имеет 1,5 % жирности; (В100 г молока содержится 1,5 г жира). с)  золотое кольцо имеет 583 пробу? (В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).

Пример раствора . 

• Возьмем 200 грамм воды и добавим в воду 50 грамм соли.
• Получим раствор соли , его масса равна

200 + 50 = 250 грамм

• Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах – 

50 : 250=0,2 – 20%

Пример смеси.

Возьмем 15 кг цемента и 45 кг песка, высыплем содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком.

Получим смесь - цемента с песком, её масса равна

15 кг + 45 кг = 60 кг.

Концентрация цемента(процентное содержание цемента) - это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах

15 кг : 60кг =0, 25 - 25%

Практическая

часть

Старинный способ решения

Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г).

  (Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий (при рождении Телятин; 9 (19) июня 1669, Осташков — 19 (30) октября 1739, Москва) — русский математик, педагог. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике).

Задача 1 . Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

72

75

80

72

5

75

80

3

800 : (5 + 3) = 100 г приходится на одну часть

для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять: 72%-ного сплава 100·5 = 500 г,

а 80%-ного – 100·3 = 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

Теоретическая часть

Задача 2 . В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?

СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

375

250

500

750

125

КВАДРАТ ПИРСОНА

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

ω 1 ω 3 — ω 2

ω 3

ω 2 ω 1 — ω 3

Практическая

часть

Задача 3 . Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решение:

5%

30 кг

1,5%

1,5%

0%

х кг

3,5%

Задача 5. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Решение:

( 55-х ) %

10%

500 г

х%

( х-10 )%

400 г

55%

Ответ: концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.

Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение:

60%

300 г

(80-х)%

х%

80%

(х-60)%

900 г

Задача 13. По дороге ТУДА Винни Пух нашел дупло с мёдом. По его ощущениям этот мёд, к сожалению, только лишь на одну пятую часть правильный (остальные четыре пятые – неправильные). В дупле же, найденном по дороге ОБРАТНО, мёд на 60% правильный. Сколько килограммов мёда нужно взять из первого и второго(10 – Х) кг дупла, чтобы в общей сложности получить 10 кг меда, содержащего 32% правильного?

Решение:

Ответ: 7 килограммов из первого и 3 килограмма из второго дупла.

БЛАГОДАРЮ ЗА

ВНИМАНИЕ