Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Радиус окружности R - расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
D = 2r
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности - прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/tangent.png)
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
AB = AC
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
∠ОAС = ∠OAB
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности - прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/secant_1.png)
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/secant_2.png)
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
AQ ∙ BQ = CQ2
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности - отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_7.png)
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2r sin α2
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_6.png)
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
AB = 2r sin α
Основные свойства хорд
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord.png)
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
дуги ◡ AB = ◡ CD
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_2.png)
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
◡ AD = ◡ BC
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_1.png)
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
если OD ┴ AB, то
AC = BC
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_5.png)
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_3.png)
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
ON = OK
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/chord_4.png)
6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.
если CD > AB, то
ON < OK
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности - угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/angle_1.png)
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу - равны.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/angle_2.png)
2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/angle_3.png)
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
β = α2
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/angle_4.png)
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
α + β = 180°
Определение. Дуга окружности (◡) - часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги - угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://ru.onlinemschool.com/pictures/circle/arc.png)
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
l = πr180°∙ α
Определение. Полуокружность - дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг (◓) - часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор (◔) - часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.