Определения и теоремы геометрия 7 класс

Геометрия 7 класс

Определения

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Концы отрезка-точки, ограничивающие прямую.

Луч-прямая, имеющая начало в точке, но не имеющая конца.

Угол-геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла-лучи, составляющие угол.

Вершина угла-точка, из которой берут начало стороны угла.

Развернутый угол, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Середина отрезка-точка, делящая отрезок пополам.

Прямой угол=90⁰. Острый угол⁰. 180⁰Тупой угол90⁰.

Смежные-два угла, у которых одна сторона общая, а две другие-это продолжения друг друга.

Вертикальные-два угла, если стороны одного угла-это продолжение сторон другого.

Перпендикулярные-две пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла.

Периметр-сумма длин всех сторон фигуры.

Перпендикуляр АН-отрезок, соединяющий точку А с точкой Н, лежащей на прямой. Этот отрезок с прямой образует прямой угол.

Биссектриса-луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Медиана-отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Высота-перпендикуляр, проведенный из вершины угла к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Равнобедренный треугольник, если две его стороны равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной точки-центр окружности.

Радиус r - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности.

Хорда-отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр окружности.

Дуга-часть окружности, полученная делением этой окружности двумя точками.

Параллельные прямые-две не пересекающиеся на плоскости прямые.

Параллельные отрезки, если они лежат на параллельных прямых.

Секущая к двум прямым-прямая, пересекающая данные прямые в двух точках.

Гипотенуза-сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Две другие стороны прямоугольного треугольника-катеты.

Неравенства треугольника: АВ
Расстояние от точки до прямой-длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Расстояние между прямыми-расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Правила и теоремы

1. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

2. Две прямые имеют либо одну общую точку, либо ни одной.

3. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

4. Равные отрезки имеют равные длины.

5. Сумма смежных углов равна 180⁰.

6. Вертикальные углы равны.

7. Развернутый угол равен 180⁰. Неразвернутый меньше 180⁰.

8. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

1. Признаки равенства треугольников:

Теорема 1 (по двум сторонам и углу). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 2 (по стороне и двум углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 3 (по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

2.2.Теорема (о перпендикуляре к прямой). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.

2.3. Медиана делит сторону на два равных отрезка.

2.4. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3.1. Признаки параллельности двух прямых (обратные теоремы тоже справедливы):

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то данные прямые параллельны.

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

3.2. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1⁰. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2⁰. Если две прямые параллельны третьей, то все три прямые параллельны.

4.1. Теорема (о сумме углов треугольника). Сумма углов треугольника равно 180⁰.

4.2. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4.5. Теорема (о соотношении между сторонами и углами треугольника). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.

Следствия из теоремы:

1⁰. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2⁰. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

4.6. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

4.7. Свойства прямоугольного треугольника:

1⁰. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

2⁰. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

3⁰. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30⁰.

4.8. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузы и острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4.9. Угол падения равен углу отражения.

4.10. Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

3