Параллельные прямые

Урок 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ.
признаки параллельности двух прямых

Цели: ввести понятие параллельных прямых; рассмотреть признак параллельности двух прямых, связанный с накрест лежащими углами.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Объяснение нового материала.

1. Повторить возможные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости, используя при этом готовые чертежи, плакаты или кодопозитивы.

2. Предложить учащимся провести обоснование того факта, что две прямые не могут иметь двух или более общих точек.

3. Дать определение параллельных прямых и соответствующее обозначение: а | | b.

4. Ввести понятие параллельных отрезков, отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей по рисунку 99 учебника.

5. Ввести понятие секущей по отношению к двум прямым по рисунку 100.

6. Рассмотреть и ввести название различных пар углов, образованных двумя прямыми и секущей: накрест лежащие углы, односторонние углы, соответственные углы (рис. 100).

7. По заранее заготовленным таблицам или рисункам на доске провести работу:

1) По рисунку 1 назовите пары накрест лежащих, односторонних, соответственных углов.

2) На рисунке 2 4 = 6.

Докажите, что 5 = 3; 8 = 6; 2 = 5.

3) На рисунке 3 1 = 5:

а) выпишите все пары накрест лежащих углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

б) выпишите все пары соответственных углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

в) выпишите все пары односторонних углов и докажите, что сумма углов в каждой паре равна 180°.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

8. Повторить признаки равенства треугольников и утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются
(п. 12).

9. Вспомнить еще раз определение параллельных прямых и отметить, что так как прямые бесконечны, то невозможно непосредственно убедиться в том, что они не имеют общей точки. Поэтому желательно иметь какие-то признаки, по которым можно сделать вывод о параллельности прямых. С понятием «признак» мы уже встречались, когда изучали признаки равенства треугольников. Теперь же предстоит познакомиться с признаками параллельности двух прямых.

III. Работа с учебником.

1. Проведение по тексту учебника доказательства теоремы – признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы (рис. 101).

Это доказательство не является традиционным – во многих учебниках этот признак доказывается методом от противного.

В процессе доказательства необходимо акцентировать внимание учащихся на назначении дополнительных построений (рис. 101, в учебника).

2. Теорема является важной и сама по себе, и потому, что на нее опираются доказательства других признаков параллельности прямых.

3. Устно решить задачу № 187 (рис. 107) и задачу № 189 (по рис. 108 или по ранее заготовленным плакатам).

IV. Закрепление изученного материала.

1. Задача. Найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их параллельность (по готовым чертежам на доске (см. рис. 1–3):

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

2. Решить задачу № 191 на доске и в тетрадях учащихся.

Доказательство

По условию ВМ = МK, тогда треугольник ВМK – равнобедренный (по определению), значит, МВK =  МKВ (углы при основании равнобедренного треугольника равны). По условию ВK – биссектриса В, то МВK = АВK.

Следовательно, АВK =  МВK =  МKВ, а АВK и МKВ – накрест лежащие углы, тогда АВ | | KМ.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 24–25 (только первый признак); решить задачи №№ 186, 188.

Урок 2
признаки параллельности двух прямых

Цель: изучить признаки параллельности двух прямых, связанных с односторонними и соответственными углами, и показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Повторить доказательство признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы, по готовому чертежу на доске (привлечь нескольких учащихся).

2. Устная работа по готовым чертежам на доске (см. рис. 1–3).

Задание: найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их параллельность.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

3. Двое учащихся на доске решают домашние задачи № 186(в), 188.

II. Изучение нового материала.

1. По рисунку 102 учебника, заранее начерченному на доске, вместе с учащимися доказать теорему о признаке параллельности двух прямых, связанных с односторонними углами (устно), а затем учащиеся самостоятельно должны записать доказательство теоремы в тетрадях.

2. Самостоятельное изучение учащимися признака параллельности прямых, связанных с соответственными углами, и запись доказательства теоремы в тетрадях.

3. Решить задачи (устно) по готовым чертежам на заготовленных плакатах (см. рис. 4–6):

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Найдите пары параллельных прямых и докажите их параллельность.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 192 на доске и в тетрадях.

Доказательство

ВСЕ = 80° по условию; СK – биссектриса ВСЕ, тогда ВСK =
= KСЕ = 80° : 2 = 40°. По условию А = 40° и получили KСЕ = 40°, а эти углы соответственные при прямых АВ и KС и секущей АЕ. Значит, АВ || СK по признаку параллельности прямых.

2. Познакомиться с практическими способами построения параллельных прямых (п. 26) по рисункам 103, 104, 105 учебника.

3. Выполнить задание № 195.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 24–26; ответить на вопросы 1–6 на с. 68; решить задачи №№ 193, 194.

Урок 3
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: закрепить и систематизировать изученный материал; научить применять признаки параллельности прямых при решении задач; развивать логическое мышление учащихся; прививать навыки аккуратности в построении учащимися чертежей на доске и в тетрадях.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Провести фронтальный опрос учащихся по вопросам 1–6 на с. 68 из учебного пособия.

2. Устно решить задачи (по готовым чертежам (см. рис. 1–5)):

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 190 по рисунку 109 (на доске и в тетрадях).

2. Решить задачу № 213 по рисунку 121 (на доске и в тетрадях).

3. Решить задачу № 215 по рисунку 122 (устно).

Указание: рисунок 122 заранее изобразить на доске и ввести цифровые обозначения углов. Сначала доказывается параллельность прямых а и b (сумма односторонних углов 115° + 65° = 180°).

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

1. Параллельны ли прямые d и е, изображенные на рисунке 1?

2. На рисунке 2 точка О – середина отрезков EL и KF. Докажите, что EF || KL.

Вариант II

1. Параллельны ли прямые m и n, изображенные на рисунке 3?

2. На рисунке 4 отрезки MО и NP пересекаются в их середине F. Докажите, что MN || PO.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Вариант III

1. Какие из прямых m, n и p, изображенных на рисунке 5, являются параллельными? Ответ обоснуйте.

2. В равнобедренных треугольниках СDЕ и FPK, изображенных на рисунке 6, 1 = 2. Докажите, что СD || PF.

Вариант IV

1. На рисунке 7 МD = NP, 1 = 2. Докажите, что MN || DP.

2. В равнобедренных треугольниках АВС и DЕF, изображенных на рисунке 8, 1 = 2. Докажите, что AB || EF.

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 24–26; решить задачи №№ 214, 216.

Урок 4
об аксиомах геометрии.
АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Цели: дать представление об аксиомах геометрии; ввести аксиому параллельных прямых и следствия из нее.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Беседа об аксиомах геометрии (использовать материал пункта 27 учебника и приложение 1 на с. 344–348 учебника, приложение 2 на с. 349–351, а также книгу: Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1982).

2. Записать в тетрадях:

аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия.

3. Предложить учащимся задачу, решение которой дано в начале п. 28: через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Решение этой задачи доказывает существование прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

4. Вопрос к учащимся: сколько таких прямых можно провести?

5. Рассказать учащимся о том, что в геометрии Евклида, изложенной им в книге «Начала» ответ на данный вопрос следует из знаменитого пятого постулата, и этот ответ таков: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Пятый постулат знаменит тем, что долгие годы его пытались доказать на основе остальных аксиом Евклида. И лишь в прошлом веке, во многом благодаря великому русскому математику Н. И. Лобачевскому, было доказано, что пятый постулат не может быть выведен из остальных аксиом. Поэтому утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, принимается в качестве аксиомы.

6. Заострить внимание учащихся на том, что в аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (единственность прямой), а существование такой прямой доказывается.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно решить задачи №№ 196, 197.

Указание: при решении задачи № 197 полезно на рисунке показать учащимся два возможных случая расположения прямых:

1) все четыре прямые пересекают прямую р;

2) одна из четырех прямых параллельна прямой р, а три другие прямые пересекают ее.

Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую р.

2. Разъяснение смысла понятия «следствия».

Записать в тетрадях: следствиями называются утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

3. Рассмотреть следствия 1° и 2° из аксиомы параллельных прямых.

4. Решить задачи №№ 198, 200, 218.

Решение задачи № 218: отметим произвольную точку, не лежащую на прямой b, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой b. Так как прямая а пересекает прямую b, то она пересекает и прямую с. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой b.

5. Решить задачу № 219*.

Решение

Предположим, что прямые а и b не параллельны, то есть пересекаются. Тогда можно провести прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую b (задача № 218). Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и а || b.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 27 и 28; ответить на вопросы 7–11 на с. 68 учебника; решить задачи №№ 217, 199.

Урок 5
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Цели: рассмотреть свойства параллельных прямых; добиться от учащихся понимания того, что накрест лежащие, соответственные и односторонние углы можно рассмотреть для любых двух прямых и секущей, но только в случае параллельных прямых накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°.

Ход урока

I. Проверка усвоения материала учащимися.

1. Сформулировать определение параллельных прямых.

2. Повторить признаки параллельности двух прямых.

3. Сформулировать аксиому параллельных прямых.

4. Повторить следствия из аксиомы параллельных прямых.

5. Устно решить задачу: докажите, что прямая, параллельная основанию АС равнобедренного треугольника АВС, перпендикулярна прямой ВD, где ВD – медиана треугольника.

II. Объяснение нового материала.

1. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.

2. Привести примеры изученных теорем и выделить в них условие и заключение (это делают учащиеся).

3. Ввести понятие теоремы, обратной данной.

4. Сформулировать теоремы, обратные трём теоремам п. 25, выражающим признаки параллельности прямых.

Необходимо сравнить условия и заключения двух теорем: теоремы, выражающей признак параллельности двух прямых, и обратной, составив следующую таблицу:

5. Рассмотреть доказательство теоремы о накрест лежащих углах по рисунку 113 и таблице.

6. Акцентировать внимание учащихся на методе доказательства от противного, с помощью которого и была доказана теорема. Кроме того, важно отметить, что если верно некоторое утверждение, то отсюда еще не следует, что и обратное утверждение тоже верно. Например, рассмотрим два утверждения:

1) Если точка С – середина отрезка АВ, то АС = ВС.

2) Если АС = ВС, то точка С – середина отрезка АВ. Второе утверждение является обратным первому. Первое утверждение верно, в то время как второе неверно. В самом деле, в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ отрезки АС и ВС равны, но точка С не является серединой отрезка АВ.

7. Самостоятельно по учебнику учащиеся изучают теоремы о свойствах соответственных и односторонних углов, образованных двумя параллельными и секущей.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно по рисунку 114 учебника доказать следствие: если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

2. Устно решить №№ 201, 205 по рисунку 117 и № 209 по рисунку 118.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 29; повторить пункты 15–28; ответить на вопросы 1–15 на с. 68 учебника; решить задачи №№ 202 и 212.

Урок 6
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: закрепить знание свойств параллельных прямых в ходе выполнения упражнений и решения задач; систематизировать знания учащихся; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Вариант II

1. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

2. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.

II. Выполнение упражнений.

1. По готовому на доске чертежу рисунка 1 решить задачи:

Рис. 1

1) Дано: а || b, с – секущая; 1 = 4 2. Найти 1 и 2.

2) Дано: а || b, с – секущая; 1 – 2 = 30°. Найти 1 и 2.

3) Дано: а || b, с – секущая; 1 : 2 = 4 : 5. Найти 1 и 2.

4) Дано: а || b, с – секущая; 2 составляет 80 % от 1. Найти 1 и 2.

2. На доске и в тетрадях решить задачи №№ 203 (б), 211 (в).

Решение задачи № 211 (в)

Значит, 1 = 5, следовательно, треугольник АDМ – равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По условию DВ – биссектриса угла АDМ, тогда и DВ – биссектриса равнобедренного треугольника АDМ, проведенная к основанию АМ, следовательно, DВ – высота равнобедренного треугольника АDМ, поэтому DВ АМ.

3. Устно по готовому чертежу на доске (см. рис. 3) решить № 220.

Решение

Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы 1 и 2 не равны: 1 ≠ 2. Предположим, что прямые а и b параллельны. Тогда согласно свойству параллельных прямых 1 = 2, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и прямые а и b пересекаются.

4. Решить задачу № 221.

Решение

Итак, через точку А можно провести только одну прямую, параллельную ВС. Следовательно, прямые АМ и AN совпадают, то есть точки M, А и N лежат на одной прямой.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить изученный материал пунктов 24–29; ответить на вопросы 1–15 на с. 68 учебника; подготовиться к устному опросу; решить задачи №№ 203(а), 208, 211(а).

Уроки 7–8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: привести в систему знания учащихся по данной теме, добиться четкого понимания того, когда в задаче нужно применить признак параллельности двух прямых, а когда – свойство параллельных прямых, подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Вариант I

1. Сформулируйте один из признаков параллельности двух прямых.

2. Докажите, что прямые а и b, изображенные на рисунке 1, параллельны, если 1 = 36°; 8 = 144°.

3. На рисунке 2 прямые АD и ВK параллельны, луч ВD – биссектриса угла АВK, АВK = 80°. Найти углы треугольника АВD.

Вариант II

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Дан треугольник СDЕ. Сколько прямых, параллельных стороне СЕ, можно провести через вершину D?

3. На рисунке 3 отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине М. Через точку В проведена прямая а, параллельная прямой АD. Докажите, что прямая а проходит через точку С.

Вариант III

1. Сформулируйте одно из свойств параллельных прямых.

2. На рисунке 4 прямые а и b параллельны; 2 = 132°. Найдите 7.

3. На рисунке 5 АВ = ВС; ВF || АС. Докажите, что луч ВF – биссектриса угла СВD.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

II. Решение задач по готовым чертежам.

1. На рисунке 6 АМ = АN, МNС = 117°; АВС = 63°. Докажите, что MN || ВС.

2. На рисунке 7 АD = DС, DЕ || АС, 1 = 30°. Найдите 2 и 3.

3. На рисунке 8 ВD || АС, луч ВС – биссектриса угла АВD; ЕАВ =
= 116°. Найдите угол ВСА.

4. На рисунке 9 лучи ВО и СО – биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и N так, что ВМ = МО, СN = NО. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

5. На рисунке 10 АЕ – биссектриса треугольника АВС, АD = DЕ, АЕ = СЕ, АСВ = 37°. Найдите ВDЕ.

6. На рисунке 11 АD – биссектриса треугольника АВС, АО = ОD, МО АD. Докажите, что МD || АВ.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

7. Решить задачи №№ 217, 211 (б).

III. Самостоятельная работа (проверочного характера с анализом ее выполнения).

Вариант I

1. На рисунке 12 прямые а и b параллельны, угол 2 на 34° больше угла 1. Найдите угол 3.

2. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая СD, параллельная стороне АВ. Найдите углы А и В треугольника, если DСВ = 37°.

Вариант II

1. На рисунке 13 прямые а и b параллельны, угол 2 в четыре раза меньше угла 1. Найдите угол 3.

2. Через вершину С треугольника СDЕ с прямым углом D проведена прямая СР, параллельная прямой DЕ. Найдите углы С и Е треугольника, если РСЕ = 49°.

Рис. 12 Рис. 13

IV. Итог урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 24–29; подготовиться к контрольной работе, просмотрев решение задач по тетрадям; решить №№ 204, 207, 210.

Урок 9
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Параллельные прямые» и применение знаний к решению задач.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Отрезки ЕF и РD пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || DF.

2. Отрезок DМ – биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DЕ в точке N. Найдите углы треугольника DМN, если СDЕ = 68°.

Вариант II

1. Отрезки MN и EF пересекаются в их середине P. Докажите, что ЕN || MF.

2. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если ВАС = 72°.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке Е так, что АЕ = ЕD. Найдите углы треугольника АЕD, если ВАС = 64°.

2. На рисунке 14 АС || ВD, точка М – середина отрезка АВ. Докажите, что М – середина отрезка СD.

Вариант IV
(для более подготовленных учащихся)

1. Отрезок DM – биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, пересекающая сторону DЕ в точке N так, что DN = MN. Найдите углы треугольника DMN, если СDЕ = 74°.

2. На рисунке 15 АВ || DС, АВ = DС. Докажите, что точка О – середина отрезков АС и ВD.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 5–29.