Перевод чисел в различных системах счисления

Практическое занятие №3

Представление чисел в различных системах счисления

Цель занятия:

• учить переводить числа из любой системы счисления в десятичную;

• учить переводить числа из десятичной в любую другую систему счисления.

• учить переводить числа из двоичной системы счисления в восьмеричную;

• учить переводить числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную;

• учить переводить числа из восьмеричной системы счисления в двоичную;

• учить переводить числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

Пояснение к работе

Системы счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. К непозиционным относят римскую систему счисления. Позиционные системы счисления – это системы, в которых значение цифры зависит от её положения в числе.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр в её алфавите и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа. Рассмотрим развернутую форму записи чисел:

,

где n-число цифр в целой части (до запятой), m-число цифр в дробной части (после запятой).

Правило перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:

Для того, чтобы перевести число из какой-либо системы счисления в десятичную, необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Пример 1.

Пусть  X₈=371₈, требуется перевести X₈  в 10–ю систему счисления.
Для перевода запишем число X₈ в развернутом виде и выполним действия в 10–й системе.
 X₈ = 3 * 8² + 7 *  8¹ +1* 8⁰ = 249₁₀

Пример 2.

Пусть X₁₆= АF,4₁₆, требуется перевести X₁₆  в 10–ю систему.

Для перевода запишем число в развернутом виде и выполним действия в 10–й системе
X₁₆ = 10 *16¹ + 15*16⁰ + 4 *16^-1 = 175,25₁₀

Правило перевода из десятичной системы счисления в любую другую:

Перевод чисел из 10-й в другую делится на два этапа – 1) перевод целой части и 2)перевод дробной части числа:

1. Для перевода целой части числа необходимо  последовательно выполнять деление данного числа  и  получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя. Полученные  остатки,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

2. Для перевода дробной части числа необходимо последовательно  умножать  данное  число  и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения  не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. Полученные целые части произведений,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,  привести в соответствие с алфавитом  новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 3. Перевести число К₁₀=22 в двоичную систему счисления. Для этого последовательно делим на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записываем как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Итак,

Пример 4. Число К₁₀=7467  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Итак,

Пример 5. Перевести число М₁₀= 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления. Для этого последовательно умножаем данное  число  и получаемые дробные части произведений на 8 до тех пор, пока дробная часть произведения  не станет равной нулю. Полученные целые части произведений запишем по порядку в дробную часть, начиная с целой части первого произведения.

Получаем: 0,65625₁₀=0,52₈

Пример 6. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7₁₀.

        . . .

        Очевидно, что  этот процесс может продолжаться бесконечно,  давая все новые и новые знаки  в  изображении  двоичного  эквивалента  числа 0,7₁₀. Так,  за четыре шага мы получаем число 0,1011₂, а за семь шагов число 0,1011001₂,  которое является более точным представлением  числа 0,7₁₀ в двоичной системе счисления,  и т.д.  Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Пример 7. Перевести число 17,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Получаем: 17,25₁₀=1001,01₂

Пример 8.  Перевести число 124,25₁₀ в восьмеричную систему.

Получаем: 124,25₁₀=174,2₈

Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 8=2³ и обратно

        Перевод целых чисел.  Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=8=2³, нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по 3  цифры (триады) в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше 3 разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как 3-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=8=2³, используя таблицу:

         Пример 9.  Число 101100001000110010₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062₈.

Перевод дробных чисел. Для  того,  чтобы  дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=8=2³, нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по 3  цифры (триады) в каждой.

2. Если  в последней правой группе окажется меньше 3 разрядов,  то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как 3-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=8=2³, используя таблицу выше.

         Пример 10.  Число  0,10110001₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542₈.

Аналогично переводятся числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную q=16=2⁴ . Отличие состоит в том, что числа делятся на группы по 4 цифры (тетрады) и использовать следующую таблицу:

         Пример 11.  Число 1000000000111110000111₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем число  справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 400F87₁₆.

            Пример 12.  Число  0,100000000011₂  переведем  в шестнадцатеричную систему счисления.         Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 0,803₁₆

         Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Целую часть данного  двоичного  числа  разбить  справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями  до нужного числа разрядов;

3.  Рассмотреть  каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

         Пример 13.  Число 111100101,0111₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

         Пример 14.  Число  11101001000,11010010₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады  и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

        Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2ⁿ в двоичную систему. 

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

        Пример 15.  Переведем шестнадцатеричное число 4АС35₁₆ в  двоичную систему счисления.

        В соответствии с алгоритмом:

Получаем: 1001010110000110101₂.

Варианты заданий

 ВАРИАНТ 1

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2750,202

2. Переведите десятичное число в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 213,35

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1010001001011₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10101100,00100101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 366₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2A19₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 12754₈

9. Сравните числа: А23₁₆ и 1232₈

ВАРИАНТ 2

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 247,2021.

2. Переведите десятичное число в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 145,45

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1011001101111₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10001110,01010001₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 1270₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 266₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 1АЕ2₁₆

9. Сравните числа: В,А₁₆ и 11,3₈

ВАРИАНТ 3

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2146,205.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 226,36

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1010001001011₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10101100,00100101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 266₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2A19₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 12754₈

9. Сравните числа: 63,5751₈ и Е,А8₁₆

ВАРИАНТ 4

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 244,2016.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 246,46

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 110001000100₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 111100010101, 100101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 7403₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 1С2Е₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 34Е2₁₆

9. Сравните числа: 12,25₁₆ и 7,426₈

ВАРИАНТ 5

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2413,201.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 327,37

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1100100010110₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10011001,10100101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 376₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2A3В₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 23754₈

9. Сравните числа: А24₁₆ и 223,2₈

ВАРИАНТ 6

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 242,2014.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 247,47

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1110010110111₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10011100,00101001₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 2370₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 367₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 2АЕ3₁₆

9. Сравните числа: В,С₁₆ и 21,3₈

ВАРИАНТ 7

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2461,207.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 328,38

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1100010010011₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 11011000, 01001001₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 466₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2Е19₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 32754₈

9. Сравните числа: 73,5751₈ и F,А9₁₆

ВАРИАНТ 8

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 240,2012.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 198,48

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 100100010001₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 111001011011, 110101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 1403₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 1С2F₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 34Е3₁₆

9. Сравните числа: 12,26₁₆ и 10,426₈

ВАРИАНТ 9

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2307, 206.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 229,39

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1001001011101₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10110010, 01010011₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 476₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2A3C₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 34754₈

9. Сравните числа: А25₁₆ и 323,2₈

ВАРИАНТ 10

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 236,2010.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 149,49

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1100101101111₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10111000,00110101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 3470₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 368₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 2АЕ4₁₆

9. Сравните числа: В,E₁₆ и 31,3₈

 ВАРИАНТ 11

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2757,123.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 230,41

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1000101100111₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 10110001, 00100101₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 566₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2Е1A₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 42754₈

9. Сравните числа: 13,5751₈ и F,BA₁₆

ВАРИАНТ 12

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 756, 1422.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 183,41

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 101010100010₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 110010110111, 011011₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 2403₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 1С31₁₆

8. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную: 34Е5₁₆

9. Сравните числа: 12,27₁₆ и 11,426₈

ВАРИАНТ 13

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную число 2755,121.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систем счисления: 331,32

3. Переведите двоичное число в восьмеричную систему счисления: 1010010111010₂

4. Переведите это же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

5. Переведите двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления: 11100100, 1 0101001₂

6. Переведите восьмеричное число в двоичную систему счисления: 576₈

7. Переведите шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления: 2A3D₁₆

8. Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: 45754₈

9. Сравните числа: А26₁₆ и 423,2₈