Пирамида, правильная пирамида

Повторение

• Что такое призма?
• Что может являться в основании призмы?
• Что является боковой стороной призмы?
• Призма имеет n граней. Какой многоугольник лежит в её основании?
• Какая призма называется прямой?
• Является ли призма прямой, если две её смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
• В какой призме боковые рёбра параллельны и равны её высоте?
• Какая призма называется правильной?
• Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?
• Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
• Чему равна диагональ параллелепипеда?
• Как найти площадь боковой поверхности призмы?
• Как найти площадь полной поверхности призмы?

Пирамида, её основание, вершина, боковые рёбра, высота, боковая поверхность.

Правильная пирамида, апофема, площадь боковой поверхности правильной пирамиды .

Учитель МКОУ Северной СШ Васильева ЛЕ

Задача № 1.

Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

Пирамида

Пирамида с гробницы

Большая пирамида Хеопса

Пирамида, созданная человеком

Пирамиды, созданные

природой

Современные здания

Опять

пирамида

Евклид пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке .

Фотка евклида

В учебнике XIX в. фигурировало определение: « пирамида – телесный угол, пересечённый плоскостью ».

Герон предложил следующее определение пирамиды: « Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник ».

Пирамида

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 А 3 …А n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника.

Соединим точку Р с вершинами многоугольника.

Получим n треугольников:

РА 1 А 2 , РА 2 А 3, … , РА n А 1 .

Многогранник, составленный из n-угольника А 1 А 2 А 3 …А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3, … , РА n А 1 называется пирамидой .

Точка Р – называется вершиной пирамиды.

Отрезки РА 1 , РА 2 , … , Ра n называются боковыми рёбрами пирамиды.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань – многоугольник, а все остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Виды пирамид

Четырёхугольная

Шестиугольная

Треугольная

Пирамида

Высота пирамиды

Вершина

S

Рёбра

Боковая грань

Высота боковой грани

D

E

C

O

Основание

H

A

B

F

S

C

P

K

O

M

B

N

A

O

M

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания

C

P

R

K

S

Пирамида называется правильной, если:

1) В основании – правильный многоугольник ;

2) Высота проходит через центр основания.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Правильные пирамиды

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Многоугольник А 1 А 2 А 3 …А n называется основанием пирамиды.

Треугольники РА 1 А 2 , РА 2 А 3, … , РА n А 1 называются боковыми гранями пирамиды.

Высота пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма всех её граней, то есть основания и боковых граней.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

Пирамида n – угольная и её элементы

ABCDE - основание

SA – боковое ребро

SO - высота

О

SM - апофема

M

SMO – двугранный угол

при основании

пятиугольная

S полн = S o + S бок

Теорема

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство .

Докажем на примере правильной треугольной пирамиды SABCD.

• Рассмотрим треугольники SMA, SMC и SMB.

АМ=ВМ=СМ (как радиусы описанной окружности), SМ – общая высота, значит, треугольники равны по двум катетам.

Следовательно, AS=BS=CS.

2) Рассмотрим треугольники SCA, SCB и SAB.

По доказанному выше AS=BS=CS (значит, они являются равнобедренными), с другой стороны АС=ВС=АВ (так как в основании правильный треугольник), следовательно, треугольники SCA, SCB и SAB равны по трём сторонам.

ЧТД.

Аналогично доказывается для любой правильной пирамиды.

Апофема правильной пирамиды.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой .

Апофема правильной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Теорема . Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Р осн – периметр основания, l – апофема.

Доказательство.

Докажем на примере произвольной пирамиды РА 1 А 2 …А n .

1) Рассмотрим боковую грань РА 1 А 2 . Это равнобедренный треугольник с основанием А 1 А 2 . Площадь этого треугольника равна:

где РК – апофема,

А 1 А 2 – сторона основания.

Аналогично площади других граней будут

вычисляться по формуле

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Теорема . Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Р осн – периметр основания, l – апофема.

Закрепление

• Что такое пирамида?
• Что такое основание пирамиды?
• Что может лежать в основании пирамиды?
• Из какой фигуры всегда состоит боковая грань пирамиды?
• Что такое высота пирамиды?
• Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
• Какая пирамида называется правильной?
• Каким свойством обладают боковые рёбра и грани правильной пирамиды?
• Как называется отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания правильной пирамиды?
• Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
• Решить задачу № 240.

Если АО=ВО=СО, то

О – центр описанной

окружности и

АО = ВО = СО = R

О

Если апофемы равны, то

О – центр вписанной

окружности и

MO = KO = LO = PO = r

K

M

L

О

P

Правильные пирамиды

треугольная четырёхугольная шестиугольная

1)Основание – правильный многоугольник

2)Основание высоты – центр многоугольника,

лежащего в основании.

S бок = 1/2Р осн ·h, где h - апофема

Задача № 240.

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : SABCD – пирамида,

АВСD – параллелограмм,

АВ=36 см, АD =20 см, S ABCD =360 см², SO – высота, SO =12 см.

Найти : S бок .

Задача № 240.

• Найдите угол А и угол D.
• Найдите ВD.
• Найдите SD и SB.
• Найдите АС.
• Найдите SA и SC.
• по формуле Герона найдите площади боковых граней (подумайте, какие из них одинаковые).
• Найдите площадь полной поверхности.

Домашнее задание

• Прочитать пункты 32 – 33, выучить все определения и

две теоремы с доказательствами.

2) Решить задачи № 239, 241.

Задачи ЕГЭ

В9, В11

УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

• Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой.

• Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды

ПОНЯТИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

• Многоугольники А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 и В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды
• Отрезки А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 … - боковые ребра усечённой пирамиды
• Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2 , А 2 В 2 В 3 А 3 … - боковые грани усечённой пирамиды. Можно доказать, что все они являются трапециями .
• Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды.

В 5

В 4

С

В 1

В 3

В 2

А 5

А 4

Н

А 1

А 3

А 2

ОСНОВАНИЯ

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

• Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
• Основания - правильные многоугольники .
• Боковые грани – равные равнобедренные трапеции.
• Высоты этих трапеций называются апофемами .

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

• Пирамида называется правильной , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок , соединяющий вершину с центром основания, является её высотой.
• Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а грани являются равными равнобедренными треугольниками.
• Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

O

F

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник, и называется центром правильного многоугольника . Для его нахождения достаточно определить в какой точке находится центр либо вписанной либо описанной окружности.

ПИРАМИДА

УСЕЧЕННЫЕ ПИРАМИДЫ

СОДЕРЖАНИЕ

ПИРАМИДА

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ

• Площадью полной поверхности пирамиды (Sполн) пирамиды называется сумма площадей всех её граней: основания и всех боковых граней.

Sполн =Sбок+Sосн

• Площадью боковой поверхности (Sбок) пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. (Доказательство на следующем слайде)

• Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

S полн.усеч . = S бок + S верхн.осн. + S нижн.осн.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.

α 1

Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

h

α 2

СПАСИБО ЗА ТЕРПЕНИЕ