Презентация к уроку "Параллельный перенос и его свойства"

Параллельный перенос

и его свойства

Параллельный перенос ― преобразование, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Введем на плоскости декартовы координаты х,у .

Преобразование фигуры F в фигуру FꞋ, при котором произвольная ее точка ( х,у ) переходит в точку ( х+а; у+b ), где а и b одни и те же для всех точек ( х,у )

называется параллельным переносом

Параллельный перенос есть движение

Действительно, две произвольные точки А(х 1 ; у 1 ) к В (х 2 ; у 2 ) переходят при параллельном переносе в точки А' (х 1 +а; у 1  + b), В'(х 2  + а; y 2 +b). Поэтому АВ 2 =(х 2 -х 1 ) 2 + (у 2 -у 1  ) 2

A'B" 2 =(х 2 -х 1 ) 2 + (у 2 -у 1  ) 2

Отсюда АВ=А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Действительно, пусть точки A (x 1 ; y 1 ) и В (x 2 ; y 2 ) переходят в точки A'(x 1 +а; y 1  + b) и В' (х 2  + а; y 2  + b). Середина отрезка АВ' имеет координаты

Те же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Параллельный перенос есть движение

Дано: А(х 1 ; у 1 ) к В (х 2 ; у 2 ) переходят

в точки А' (х 1 +а; у 1  + b), В'(х 2  + а; y 2 +b).

Доказать: АВ=А'В'.

Доказательство: АВ 2 =(х 2 -х 1 ) 2 + (у 2 -у 1  ) 2

A'B" 2 =(х 2 +а –(х 1 +а)) 2 + (у 2 +b –(у 1 +b  ) 2 =

=(х 2 -х 1 ) 2 + (у 2 -у 1  ) 2 . Отсюда АВ=А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением , что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Действительно, пусть точки A (x 1 ; y 1 ) и В (x 2 ; y 2 ) переходят в точки A'(x 1 +а; y 1  + b) и В' (х 2  + а; y 2  + b). Середина отрезка АВ' имеет координаты

Те же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Параллельный перенос есть движение

Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка ВА'. Значит, все точки А, В, А', В' лежат на одной прямой.

Далее,

Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние

а прямая АВ переходит в себя.

при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую

(или в себя)

A 1

А

С

B 1

В

a

C 1

a

Движения на картинах М. Эшера.

Параллельный перенос.

7

Параллельный перенос

Параллельный перенос.

7

Параллельный перенос

7

М. Эшер. «Рыба, заглатывающая корабль». Параллельный перенос.

7

М. Эшер «Ящерицы». Здесь можно увидеть поворот на 60(градусов). Найдите другие повороты, с другим центром. Параллельный перенос.

7

М. Эшер «Бабочки». Поворот. Центральная симметрия. Параллельный перенос.

7

Укажите недостающие координаты точек на рисунке

Задача 1.

В результате параллельного переноса вершины квадрата ABCD переходят соответственно в вершины квадрата А 1 В 1 С 1 D 1 . Найдите координаты точек В 1 , С 1 , D 1 , если А(1;-2), А 1 (5;6), В(4;2), С(0;5), D(-3;1).

Ответ. В 1 (8;10), С 1 (4;13), D 1 (1;9)

Домашнее задание:

п.87, вопросы 16,17.

№ 27, 28, 29.