"Производная показательной функции".

Производная показательной функции.

Учебно-воспитательные задачи.

Дидактическая цель. Вывести формулы производной показательной функции. Формировать умения и навыки дифференцирования показательной функции.

Воспитательная цель. Развивать творческую активность при выводе формул дифференцирования.

Основные знания и умения. Знать формулы производных показательных функций и . Уметь выводить формулы производной показательных функций с действительным показателем и находить их производные.

Обеспечение занятия.

Наглядные пособия. Таблица формул дифференцирования.

Раздаточный материал. Карточки-задания для индивидуального работы. Карточки с упражнениями для отработки умений и навыков нахождения производной показательной функции во время аудиторного занятия.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Усвоение новых знаний.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Напомнить учащимся общий метод нахождения производной.

Последовательность изложения нового материала.

1. Вывод формулы производной показательных функций и .

2. Решение упражнений.

План занятия.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания. Собрать на проверку домашнюю контрольную работу.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися:

• выписать на доске формулы производных тригонометрических функций;

• дать определение показательной функции;

• назовите область определения и область значения показательной функции;

• дать определение числа е;

• записать на доске основное логарифмическое тождество;

• дать определение производной функции в произвольной точке;

• записать на доске правило вычисления производной сложной функции.

Изучение нового материала. Сначала выведем формулу производной показательной функции в произвольной точке.

Теорема. Показательная функция дифференцируема в любой точке и ее производная вычисляется по формуле

Примем сначала без доказательства факт, что показательная функция в точке имеет производную, равную , т.е.

при .

Доказательство. Найдем производную функции в произвольной точке по общему методу вычисления производной.

Т.к. точка – произвольная точка, то заменив на , получим:

.

Ч.т.д.

Для сложной показательной функции имеем

Следствие. Показательная функция дифференцируема в любой точке и ее производная вычисляется по формуле

Доказательство. По основному логарифмическому тождеству имеем

, следовательно

,

.

Ч.т.д.

Для сложной показательной функции имеем

Запишем полученные формулы в таблицу.

Решение упражнений.

Найдите производную функции:

1. 2.

; ;

3. 4.

; ;

5.

;

6.

;

7.

;

8.

;

9.

;

10.

;

11.

.

12.

;

13.

.

И как итог урока проведем самостоятельную работу.

Самостоятельная работа учащихся. Работа выполняется по карточкам-заданиям.

I вариант (для слабых студентов) – полностью выполненная работа оценивается оценкой «3».

II вариант (для более сильных студентов) – полностью выполненная работа оценивается оценкой «4».

III вариант (для сильных студентов) – полностью выполненная работа оценивается оценкой «5».

Задание на дом.

1. Учить теорию. Формулы с выводом.

2. Найти производные следующих функций:

1). ; 2). ; 3). ; 4). ;

5).

Найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

11.

12.

13. .

Карточка по теме «Дифференцирование показательной функции».