Совершенные и дружественные числа

Совершенные и дружественные числа

Работу выполнил:

ученик 6 г класса лицея № 86 Крылов Максим

Учитель:

Кукушкина А. В.

Ярославль, 2015

Цель работы:

• Расширить представление о многообразии чисел

Задачи работы:

• узнать какие числа называются дружественными и совершенными
• познакомиться с историей возникновения совершенных и дружественных чисел
• выяснить какими свойствами обладают совершенные и дружественные числа

Числа разные нужны…

натуральные

целые

рациональные

Числа разные нужны, числа всякие важны…

4

Однажды Пифагор сказал…

«Считайте своим другом того, кто является вашим вторым Я, как числа 220 и 284»

Однажды ……… А что он имел ввиду?

4

Дружественные числа

это такие два числа, для которых

• Сумма делителей первого (кроме его самого) равна второму числу

• Сумма делителей второго (кроме его самого) равна первому числу

Число

а

Сумма Д

в

в

а

Какие же они, дружественные числа? ……………………… Назовем такую ситуацию «крест-накрест»

Проверка на «дружественность»

Число

Число

Делители

Делители

Число

Число

Делители

Делители

Проверим на дружественность числа 220 и 284.

Наследство греческой нумерологии

Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот , то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости

Дружественные числа - это наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости

Числовое значение имени

1

2

А

3

Б

И

4

С

В

Й

5

Ъ

Г

Т

К

6

Ы

У

Л

Д

7

Ь

Ф

Е

М

8

Н

Э

Ё

Х

9

О

Ю

Ж

Ц

Я

З

Ч

П

Ш

Р

Щ

Как же определить числовое значение имени? Найти числовое значение имени нам поможет таблица, где каждая буква русского алфавита представлена как соответствие одному из девяти простых чисел. Обычно в расчетах «принимают участие» имя человека (в полной форме, но без отчества) и фамилия, которую он носит в данный момент.

Я и мой друг ДРУЗЬЯ?

1

2

А

3

И

Б

4

Й

В

С

5

Г

К

Т

Ъ

6

Л

Ы

Д

У

7

Е

Ф

М

Ь

8

Х

Э

Н

Ё

9

Ю

Ц

О

Ж

Ч

П

З

Я

Р

Ш

Щ

к

к

3

3

р

р

9

ы

9

ы

2

л

2

л

4

о

о

4

7

7

в

в

3

3

м

м

а

5

а

5

1

1

к

к

с

с

3

3

и

и

1

1

1

м

м

1

5

5

Я и мой друг ДРУЗЬЯ?

1

2

А

3

И

Б

4

С

В

Й

5

Г

Ъ

Т

К

6

Ы

Д

У

Л

7

Ф

Ь

Е

М

8

Н

Ё

Х

Э

9

Ж

Ц

О

Ю

Ч

П

Я

З

Ш

Р

Щ

к

к

у

3

у

3

к

к

3

3

у

у

3

3

ш

ш

3

3

8

к

к

8

и

и

3

3

н

н

1

1

6

6

е

е

в

в

6

6

г

г

3

3

е

е

4

4

6

6

н

н

и

и

6

6

й

й

1

1

2

2

Я и мой друг ДРУЗЬЯ?

к

к

р

р

ы

ы

л

л

о

о

в

в

м

м

а

а

к

к

с

с

и

и

м

м

к

к

у

у

к

к

у

у

ш

ш

к

к

и

и

н

н

е

е

в

в

г

г

е

е

н

н

и

и

й

й

Я и мой друг ДРУЗЬЯ?

Евгений

Максим

Евгений

Максим

Число

Число

Число

Число

Делители

Делители

Делители

Делители

?

Находим делители Числового Значения Имени и их сумму… Каков же результат? МЫ НЕ МОЖЕМ ДРУЖИТЬ????

Как найти друга?

ЧЗИ

ЧЗИ

1

Сумма делителей

Сумма делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

ЧЗИ – числовое значение имени. Анализируя таблицу, можно заметить, что ситуации «крест-накрест» не получается, за исключением …

Как найти друга?

ЧЗИ

ЧЗИ

Сумма делителей

1

Сумма делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

ЧЗИ – числовое значение имени. Анализируя таблицу, можно заметить, что ситуации «крест-накрест» получиться не может….

Как найти друга?

ЧЗИ

ЧЗИ

Сумма делителей

1

Сумма делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

… . за исключением …

Как найти друга?

ЧЗИ

ЧЗИ

1

Сумма делителей

Сумма делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

… случаев Третьей и шестой строки, в которых «Числовое значение имени» то есть ЧИСЛО равно сумме его делителей. Что же это за числа? Какие-то Они ОЧЕНЬ ДРУЖЕСТВЕННЫЕ! Просто СОВЕРШЕНСТВО какое-то….

Совершенные числа

Число

Число

1

Сумма его делителей

Сумма его делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

Попробуйте дать определение совершенного числа.

Совершенные числа

это такие числа, у которых сумма делителей (кроме его самого) равна самому числу

Число

Число

1

Сумма его делителей

Сумма его делителей

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

Как найти?

Формулу для нахождения трех пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра

Как найти?

Формула для нахождения трех пар дружественных чисел

Как найти?

Формула для нахождения трех пар дружественных чисел

Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для n=2;4;7, но больше никаких пар дружественных чисел для n

Используем компьютер!

Этим способом в Йельском университете получена коллекция из 42 пар дружественных чисел.

Недавно этим способом в Йельском университете были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в таблице. При помощи этого метода

Используем компьютер!

220

284

1184

1210

2620

2924

5020

5564

6232

6368

10744

10856

12285

14595

17296

18416

63020

76084

66928

66992

67095

71145

69615

87633

79750

88730

Таблица дружественных чисел до 100 000

Используем компьютер!

220

284

1184

1210

2620

2924

5020

5564

6232

6368

10744

10856

12285

14595

17296

18416

63020

76084

66928

66992

67095

71145

69615

87633

79750

88730

нетрудно заметить,что одновременно «вылавливаются» и совершенные числа

Интересные факты

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел.

На сентябрь 2007 года известно

11 994 387 пар дружественных чисел.

Интересные факты

Первые четыре совершенные числа:

6, 28, 496, 8128 были обнаружены 2000 лет назад.

Пятое совершенное число

было выявлено в 1460г.

Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан

Шестое - 8 589 869 056 и седьмое - 137 438 691 328

Первые четыре совершенные числа:

6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан в 15 веке

Свойства дружественных чисел

на основе таблиц можно высказать несколько предположений:

• отношение одного из них к другому приближается к 1
• эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными ( не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел  n  ≤ 1 3 000 000 000)

В действительности мы очень мало знаем о свойствах пар дружественных чисел, однако, можно на основе наших таблиц высказать несколько предположений. Например, отношение одного из них к другому, по-видимому, должно все больше и больше приближаться к 1 по мере того, как они увеличиваются. Из таблицы видно, что эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными, но не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел  n  ≤ 1 3 000 000 000.

Свойства совершенных чисел

• Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

• Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

Интересные факты

«Совершенный»характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Интересные факты

Дата рождения

28 августа является совершенным числом

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Л. В. Толстой

Интересные факты

Год рождения

1828 – тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число ; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Л. В. Толстой

Выводы

• узнал какие числа называются дружественными и совершенными
• познакомился с историей возникновения совершенных и дружественных чисел
• нашел интересные факты о совершенных и дружественных числах
• выяснил какими свойствами обладают совершенные и дружественные числа

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Спасибо за внимание!!!