Теорема Пифагора

Теорема

Пифагора

К учебнику Л.С. Атанасяна

Геометрия 7-9, Глава VI, пп.55,56

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская ООШ»

Оршанского района Республики Марий Эл

Теорема Пифагора

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придем

c

b

a

a 2 + b 2 = c 2

Пифагор: «Я не учу мудрости, я исцеляю от невежества.»

ПИФАГОРОВЫ ЗАКОНЫ

Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.

Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.

Не пренебрегай здоровьем своего тела.

Научись жить просто и без роскоши.

Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

Пифагор Самосский

570 - 480 гг. до н. э

древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев

Исторический анекдот: Когда Пифагор доказал свою теорему, он в благодарность богам принёс в жертву 100 быков, и с тех пор все скоты ненавидят математику.

Шаржи на

теорему

Другие названия теоремы:

Пифагоровы штаны

Теорема нимфы

Теорема невесты

Ветряная мельница

Ослиный мост

Бегство убогих

Еще одна формулировка теоремы Пифагора:

Площадь квадрата, измеренного по

длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые

измерены по двум сторонам его,

примыкающим к прямому углу.

Geometria Culmonensis, около1400 г.

c 2

а 2

b 2

c 2 = a 2 + b 2

Доказательство теоремы, дающей зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, по мнению античных авторов нашей эры (Диоген, Порфирий, Афиней, Плутарх), принадлежит Пифагору или кому-то из его учеников. Каким оно было? История не дает ответа на этот вопрос. До нас дошли несколько доказательств этой теоремы, приведенных в «Началах» Евклида. Более ранние доказательства теоремы Пифагора, за исключением частных случаев, истории математики неизвестны. На протяжении многих веков предпринимались тысячи попыток найти новые способы доказательство теоремы Пифагора. И они были найдены.  На данный момент в научной литературе зафиксировано около 400 доказательств данной теоремы. Не существует другой теоремы с такой богатой историей, которая бы пользовалась таким вниманием математиков и любителей математики. Интерес к теореме вызывается еще и тем, что она является одной из основополагающих теорем евклидовой геометрии, применяется буквально на каждом шагу. Теорему Пифагора называют жемчужиной античной математики. Причина ее популярности – простота, красота, значимость.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур

с 2

a 2

b 2

а 2 + b 2 = с 2

Смотри!

Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор

Доказательства методом разбиения

2

1

Доказательство

ан-Найризия

(865-922 гг.),

видного персидского математика и астронома, уроженца города  Найриза в Ширазе. Работал в «Доме мудрости» в Багдаде. В Западной Европе был известен под латинизированным именем Анариций 

4

3

4

5

1

5

3

2

а 2 + b 2 = с 2

Алгебраический метод

Доказательство Джеймса Гарфилда,

двадцатого президента США, 1880 г

c

b

c

а

a

b

c

c

c

c

Доказательство, приведенное в учебнике Л.С.Атанасяна «ГЕОМЕТРИЯ, 7-9»

a

b

a

b

b

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

а

a

b

∟

∟

13

25

Задачи по готовым чертежам

1.

4.

2.

3.

5.

6.

А

В

С

В

5

?

6

Н

В

?

12

∟

7

8

А

С

АС-?

А

С

В

С

В

?

135 0

А

С

С

О

6

?

D

А

135 0

?

D

∟

АВ:AD=3:4

В

А

ǁ

ǁ

Задачи по готовым чертежам

7.

8.

С

8

В

10

С

В

А

D

D

А

12

18

СD = 5

S ABCD - ?

BD = 13

S ABCD - ?

Задачи по готовым чертежам

8.

9.

С

В

В

С

7

24

H

D

А

А

D

H

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема Пифагора : Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратное утверждение : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

ǁ

ǁ

≡

≡

Теорема, обратная теореме Пифагора

А

Дано: ΔАВ С, АВ 2 = АС 2 + ВС 2

Доказать: ∠С - прямой

Построим Δ А 1 В 1 С 1 :

∠ С 1 = 90 0 , А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС

/

В

С

По теореме Пифагора А 1 В 1 2 = А 1 С 1 2 +В 1 С 1 2

А 1

А 1 В 1 2 = АС 2 +ВС 2 = АВ 2

А 1 В 1 = АВ

Δ А 1 В 1 С 1 = Δ АВС

/

В 1

С 1

∠ С 1 = ∠С = 90 0 .

Это прямоугольные треугольники

Пифагоровы треугольники

13 2 = 5 2 + 12 2

5 2 = 3 2 + 4 2

13

5

5

3

4

12

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами , называются пифагоровыми треугольниками

Являются ли пифагоровыми (прямоугольными) треугольники, длины сторон которых выражаются следующими целыми числами: а) 8, 15, 17; б) 7, 24, 25 ?

Египетский треугольник

Крупнейший немецкий историк математики Кантор (1829 - 1920 гг.) считал, что равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

5

4

3

Древнегреческие авторы писали о существовании в Египте особого метода для построения прямого угла на местности: этому служила кольцевая веревка, на которой были отмечены 12 узелко в на равных расстояниях.

Теорема Пифагора в древнем Вавилоне

Вавилонянам были известны многие «пифагоровы тройки» целых чисел, удовлетворяющих равенству x 2  + y 2  = z 2 , в том числе совсем нетривиальные (например, 72, 65, 97 или 3456, 3367, 4825). К сожалению, мы ничего не знае м о том, каким методом были найдены эти числа

Задача. Определить длину шеста, который вначале вертикально прислонен к стене, а затем наклоняется так, что его верхний конец опускается на три локтя, а нижний отходит от стены на 6 локтей.

Задачи по готовым чертежам

12.

11.

В

В

А

М

С

С

А

24

Задачи по готовым чертежам

13.

Р

2

К

1

М

А

Для ΔАРК справедливо равенство: РК 2 = АР 2 + АК 2

24

∠ АРК = 30 0

∠ РАК = 90 0 , ∠РАМ = 90 0

∠ МРК = 75 0

∠ МРА = ∠АМР = 45 0

Задачи по готовым чертежам

14.

M

AB = 9

CD = 12

AD = 30

BC = 15

С

В

AB ⋂ CD = M

∠ AMD = ?

D

А

Задачи по готовым чертежам

15.

С

В

AD = 10

BC = 3

AС = 12

ВD = 5

О

AС ⋂ ВD = О

∠ AОD = ?

D

М

А