Урок геометрии в 8 классе по теме "Теорема о вписанном угле"

План урока:

• Повторение материала.
• Знакомство с определением вписанного угла.
• Доказательство теоремы, выражающей свойство вписанного угла. (3 случая)
• Формулировка двух следствий из теоремы.
• Решение задач.
• Итог урока.
• Домашнее задание.

1.Какой угол называется центральным? 2. Каким соотношением связаны центральный угол и дуга, на которую он опирается? 3.Дайте определение внешнего угла треугольника. 4.Какая теорема выражает его свойства?

2. По рисунку б). найти величину внешнего угла.

1.По рисунку по рисунку а) найти величину х

Сравнить величину внешнего угла и угла при основании.

216 °

х

33 °

б).

а).

3. Задание на готовом чертеже:

Найдите  АВС, если дуга АС  = 70°

Нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти  АВС?

ТАКИМ УГЛОМ ЯВЛЯЕТСЯ  АОС.

 АОС = 70 о .

Так как треугольник АВО равнобедренный (АО=ВО –радиусы окружности),то  ВАО =  АВО, следовательно,  АОС=2  АВО, откуда  АВО=35 о

Вписанные углы

Цветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы .

В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

План УРОКА

• Изучить определение вписанного угла
• Научиться распознавать вписанные углы на чертежах
• Узнать, какими свойствами обладают вписанные углы
• Научиться применять полученные знания при решение задач

На какие группы вы бы разделили углы?

Вписанные углы

Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ?

Определение

• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется

вписанным .

Найди рисунки, на которых изображены вписанные углы. Достаточно щелкнуть по ним мышкой.

Сторона не пересекает окружность

верно

Вершина не на окружности

верно

Задание:

Выразить величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается

В

Рассмотрим 3 случая:

В

А

В

С

А

С

С

А

D

1 случай

В

Дано:

1

О

Док-ть:

2

Доказательство:

А

С

2 случай

В

С

А

D

3 случай

В

А

С

D

Замечен факт:

В

О

А

С

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Как???

Как быстро циркулем и линейкой

построить сразу несколько углов

равных данному ?

Построение угла, равного данному.

Дано: __ А.

Построить: __ О = __ А

E

С

А

О

В

D

Быстро???

Несколько сразу???

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 1:

Как быстро циркулем и линейкой

построить прямой угол ?

Построение

перпендикулярных

прямых.

P

М

В

А

Q

Как быстро циркулем и линейкой

построить прямой угол ?

Следствие 2:

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой .

100 °

D

?

А

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие,

№ 660

Большая дуга окружности, заключенная

образующие угол в 32 ° .

Найдите меньшую дугу.

между сторонами этого угла, равна 100 ° .

С

32 °

В

О

E

Найдите градусную меру угла ABC.

C

120 °

60 °

D

30 °

А

B

Игра на повторение «Веришь — не веришь»

• Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
• Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?
• Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
• Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
• Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
• Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ?
• Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
• Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
• Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

• ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚.

• Нет , отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через ( эту точку и) центр окружности.

• Нет , угол проходящий ( выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом.

• Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Нет, величина центрального угла в два раза больше ( равна ) величины дуги, на которую он опирается.

• Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ( прямой) .

• Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом.

Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

• Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники

Проверка домашнего задания.

• Задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность

Вписанные углы

• I способ :

Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому

• AMR=  C  +  E .

Угол ARM – внешний угол треугольника BRD, поэтому

• ARM=B  +  D.

Тогда

 A+  B+  C  +  D  +  E = ° .

Вписанные углы

• I I способ : Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто:

360 ° : 5 :2 5=180 ° .

Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом .

Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии.

Тест 1

Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы, хотя углы АОВ; ВОС; COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

1.

2.

В окружность вписан:

1. квадрат

2. близкая к квадрату фигура

В окружность вписан:

1. треугольник

2. близкая к треугольнику фигура

Тест 2 Тест 3

• Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.
• Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

Вписанные углы

Цветочная клумба

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы .

В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод:

т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N .

Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

Итог урока:

Найди ошибку в формулировках:

1. Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности.

2. Вписанный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

Закончи фразу:

1. Вписанные углы равны, если…

2. Вписанный угол прямой, если…

Домашнее задание:

п.71, выучить определение вписанного угла,

• теорему о вписанном угле,
• (записав док-во 3 случая) и
• два следствия из нее,
• № 657- выполнить письменно,
• № 654-устно

Спасибо за внимание!

Учитель математики МБОУ «СОШ № 3»

города Инта Республики Коми

Мисникович Наталия Ивановна