Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства

треугольников

Подготовил:Илья Кашников

Теорема

Если сторона и прилежащие к ней углы одного  треугольника  соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого  треугольника  то такие  треугольники  равны

Доказательство

Дано:

ΔABC,

ΔA 1 B 1 C 1 ,

AB=A 1 B 1 , ∠A=∠A 1 , ∠B=∠B 1 .

Доказать:

ΔABC= ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство:

Так как AB=A 1 B 1 , то треугольник A 1 B 1 C 1  можно наложить на треугольник ABC так, чтобы

• сторона A 1 B 1  совместилась со стороной AB,
• точки C 1  и С лежали по одну сторону от прямой AB.

Поскольку ∠A=∠A 1 , сторона A 1 С 1  при этом наложится на луч AC.

Так как ∠B=∠B 1 , сторона B 1 C 1  наложится на сторону BC.

Точка С 1  принадлежит как стороне A 1 С 1 , так и стороне B 1 C 1 , поэтому С 1 лежит и на луче AC, и на луче CB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С 1  совместится с точкой C.

Значит, сторона A 1 С 1  совместится со стороной AC, а сторона B 1 C 1  — со стороной BC.

Таким образом, при наложении треугольники ABC и A 1 B 1 C 1  полностью совместятся.

А это означает, что ΔABC= ΔA 1 B 1 C 1

  Дано:

∠ AMK=∠BKM,

∠ AKB=∠BMA

Доказать:  ∆AKM=∆BMK.

Дано:

∆ CFD — равнобедренный с основанием CD,

∠ AFC=∠BFD

Рассмотрим треугольники  AFC и BFD.

1) ∠AFC =∠BFD (по условию).

2) CF=DF (как боковые стороны равнобедренного треугольника CFD).

3) ∠ACF=∠BDF (как смежные с равными углами: ∠FCD=∠FDC как углы при основании равнобедренного треугольника CFD).

Следовательно, ∆AFC = ∆BFD (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF. Значит, ∆AFB — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника)

Доказательство:

Рассмотрим ∆AKM и ∆BMK.

1) MK — общая сторона.

2) ∠AMK=∠BKM (по условию).

Дано: AО = ОC, ∠A = ∠C.

Дано: ВО = ОD, ∠В = ∠D.

Доказать: АО = ОС, АВ = CD, ∠А = ∠С .

Доказать: BО = ОD, АВ = CD, ∠B = ∠D.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а именно, что АО = ОС, АВ = CD, ∠А=∠С.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а именно, что BО = ОD, АВ = CD, ∠B=∠D.

Спасибо за внимание! Успехов в учёбе!