Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады по математике 2018-2019 учебный год 8 класс.

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады по математике

2018-2019 учебный год

8 класс.

Задание № 1

В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Решение. При удвоении стипендии Маши общий доход семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, поэтому она составляет 5% от дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют 15% и 25%. Значит, пенсия дедушки составляет 100 – 5 – 15 - 25 = 55%, и если её удвоят, то доход семьи вырастет на 55%.

Задание №2

Найдутся ли натуральные числа x y и z, удовлетворяющие уравнению: 28x + 30y + 31z = 365?

Решение: Да найдутся. Например, x = 1 (февраль), y = 4 (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь) z = 7 (все остальные месяцы в году). Ещё решение: x = 2, y = 1, z = 9.

Задание № 3

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Решение. Если время одного станет меньше времени другого из ребят, то увеличится время другого и, следовательно, время команды. Значит, время ребят должно совпадать. Обозначив число проезжаемых Петей участков через x и решив уравнение , получим x = 18.

Задание № 4

Построить график уравнения: ху + 3х = 0.

Решение: ху +3х = 0

ху = - 3х

у = -

у = - 3 – графиком является прямая параллельная оси ОХ.

Задание № 5

Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний, остроугольный, тупоугольный?

Решение: Треугольник с углами 60⁰, 30⁰, 90⁰. На гипотенузе взять точку так, чтобы угол был равен 60⁰. Тогда - прямоугольный, - остроугольный, - тупоугольный, - равносторонний, - равнобедренный, - разносторонний.