Конспект урока "Формула Герона"

Предмет

Геометрия

Класс

8

Тема урока

Формула Герона

Тип урока

Изучение нового материала

Цели

1. Вывести формулу Герона, рассмотреть применение ее при решении задач.

2. Развитие познавательной активности, логического мышления;

3. Воспитание доброжелательности, терпимости друг другу.

Планируемые образовательные результаты

Предметные

Метапредметные

Личностные

Уметь доказывать и применять формулу Герона в решение задач.

Учащиеся должны обнаруживать и формулировать учебную проблему совместно с учителем; осуществлять самооценку и самокоррекцию учебной деятельности, саморефлексию; уметь понимать точку зрения другого, слушать.

Обучающиеся должны объяснять самому себе свои отдельные ближайшие цели саморазвития, понимать и осознавать социальную роль ученика; проявлять положительное отношение к урокам математики, интерес к способам решения новых учебных задач, понимать причины успеха или неуспеха в своей учебной деятельности.

Организационная структура урока

№ этапа

Этап урока

УУД

Деятельность

ЭОР

Время

учителя

учащихся

1

Организацон-ный

Личностные: самоопределяются, настраиваются на урок

Познавательные: ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока»

Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

2 мин

2

Мотивация и

актуализация

Познавательные: анализируя и сравнивая предлагаемые задания, извлекают необходимую информацию для построения математического высказывания

Регулятивные: целеполагание, планирование,

выполняют тренировочное учебное действие

Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Устные вопросы

1. Чему равна площадь прямоугольника?

2. Чему равна площадь квадрата?

3. Чему равна площадь треугольника?

4. Чему равна площадь трапеции?

5. Чему равна площадь параллелограмма?

Отвечают на вопросы, высказывают свое мнение, выполняют действия.

5 мин

3

Изучение нового материала

Коммуникативные:

использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге;

Познавательные: анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач.

На этом уроке мы рассмотрим ещё один способ вычисления площади треугольника: с помощью формулы Герона. Она позволяет вычислить площадь треугольника, зная лишь его стороны, что может очень пригодиться, особенно в практических вычислениях.

Мы выпишем и докажем формулу Герона, а также решим несколько задач на применение этой формулы.

История формулы Герона

На данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.

До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту:   и катеты (для прямоугольного треугольника):  . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.

Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в   веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского (  век до н.э.) она есть.

Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми.

Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)

Теорема

Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле:  , где   – полупериметр,   – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник   (пусть   – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём:  . Проведём высоту  , а также обозначим:   (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников  :   (1),  :   (2).

Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:

, откуда:  . Так как   (3), то получаем:   (4).

 Сложим формулы (3) и (4):

.

Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для  :

.

Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой:  . Отсюда:  . Тогда преобразуем полученную формулу:

.

Отсюда высота равна:  .

Запишем известную нам формулу для площади треугольника:  .

Доказано.

Слушают, комментируют

10 мин

4

Формирование умений и навыков

Познавательные: анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач.

Регулятивные: проявляют познавательную инициативу

Коммуникативные:

использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге;

№ 518 (б) (без записи в тетрадь).

2) ВDЕ – прямоугольный, по теореме Пифагора.

ВD² = ВЕ² + DЕ², ВЕ = = 23 (см).

3) S_АВСD = (BC + AD) · BE = (16 + 30) · 23 = 529 (см²).

1 учащийся работает у доски. Остальные – на местах.

Выполняют задание,

проверяют и обсуждают решение.

20 мин

6

Подведение итогов. Домашнее задание.

Личностные: проводят самооценку

Познавательные: сформирован навык для правильного выполнения домашнего задания

Коммуникативные: планируют сотрудничество, определяют кому нужна помощь

Домашнее задание: №499 (б), 491 (б), 492, 495 (в);

Формулируют правило

Записывают домашнее задание в дневник, делая необходимые пометки.

2 мин

7

Рефлексия

Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха)

Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий

Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений.

Задает вопросы:

На уроке

- Было трудно …

- Было интересно …

- Я научился …

- Меня удивило

Выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения

Выражают свои мысли

2 мин