ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРКЕТ ГЛАЗАМИ М.К. ЭШЕРА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРКЕТ ГЛАЗАМИ М.К. ЭШЕРА

Солодуша Пётр Юрьевич

Лицей №1, группа 8-7, 8

г. Иркутск, 2014/2015 учебный год

Консультанты: Золотарёва Елена Алексеевна (учитель информатики МБОУ «СОШ №24»),

Демидова Светлана Владимировна (учитель математики МБОУ «Лицей №1»).

Введение

Актуальность. Известнейший ученый Карл Фридрих Гаусс говорил: «Математика – Царица наук». Я провел опрос среди 90 учащихся из МБОУ СОШ № 24, МБОУ «Лицей №1» и МБОУ «Лицей ИГУ» г. Иркутска: «Интересуетесь ли Вы книгами (журналами) по занимательной математике?». 28% опрошенных учеников ответили утвердительно. Это показывает важность проведения мероприятий по теме «Занимательная математика». Я люблю читать книги Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная арифметика», «Живой учебник геометрии», «Занимательная алгебра», а также журнал «Квант». Читая эти книги, я узнал, что математика присутствует во многих областях знаний, даже в музыке и живописи.

В начальной школе я придумал сказочную историю про Математику – Царицу наук [1]. В этой сказке использована информация из журнала “Квант” [2], где впервые я познакомился с рисунками Маурица Корнелиса Эшера. Картины этого голландского художника наглядно иллюстрируют некоторые математические законы [3], например, мозаичное разбиение плоскости («геометрический паркет») и даже геометрию Лобачевского [4, c. 51], основы которой изучают в высших учебных заведениях. Ориентируясь на школьную программу для учеников средних классов, я выбрал тему «Геометрический паркет глазами М.К. Эшера». При подготовке данного исследования использовались связи с предметами развивающего и гуманитарного цикла. Представленные материалы могут быть использованы в качестве учебного пособия на уроках изобразительного искусства, факультативных занятиях по математике и информатике.

Гипотеза. Картины голландского художника М.К. Эшера помогают изучить тему «Геометрический паркет».

Цель работы: изучить предметную область и разработать презентацию для учащихся средних классов.

Задачи:

1. изучить основы картин М.К. Эшера;
2. сделать иллюстративный материал для кабинета математики;
3. разработать несколько узоров на примере базовых фигур, реализовать их с помощью графического редактора Paint.;
4. на основе собственных узоров сделать игру для составления паркетов в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel;
5. выполнить презентацию в PowerPoint.

Методы исследования включали теоретическую и практическую часть. Теоретическая часть:

• изучение сведений по теме «Геометрический паркет», поиск информации о художнике Эшере и его картинах в сети Internet, энциклопедиях, справочниках, журналах.
• сравнительный анализ.

Практическая часть:

• опрос учащихся;
• проведение классного часа;
• фотографирование, работа с графическими редакторами Photoshop, Paint; редактором электронных таблиц Microsoft Excel.

1. Геометрические фигуры в картинах М.К. Эшера

Мауриц Корнелис Эшер [5] родился 17 июня 1898 в г. Леуварден в Нидерландах, умер 27 марта 1972. Для художника «оболочка видимого мира была лишь кусочком ткани, которую можно самым чудесным образом резать, складывать, придавать ей любую форму» [6]. Интерес к мозаикам у художника проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры (дворец в испанском городе Гранада) [7]. Данная информация указана в презентации на слайде №5.

Геометрический паркет – это заполнение поверхности многоугольниками без щелей и наложения фигур. Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах художника, приведены на фото 1 [6].

Фото 1. «Базовые» фигуры Эшера.

Это квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник. Так как с помощью круга нельзя построить паркет, то художник не использовал эту геометрическую фигуру (слайд №6 в презентации).

Свою работу над презентацией я начал с изучения картин Эшера. На рисунках 1-4 приведены фрагменты некоторых картин художника.

Рисунок 1. Фрагмент картины «Птицы».

Рисунок 2. Фрагмент картины «Рыбы».

Рисунок 3. Фрагмент картины «Две птицы» (1 вариант).

Рисунок 4. Фрагмент картины «Две птицы» (2 вариант).

Синим цветом я выделил варианты геометрических фигур (квадрат, треугольник, ромб, параллелепипед), которые возможно послужили художнику основой для создания образов животных. Разноцветными стрелками я отметил те участки геометрической фигуры, которые нуждаются в параллельном переносе (слайд № 7 в презентации).

Только 50% учащихся (см. Приложение 1) ответили правильно на вопрос о том, какая «базовая фигура» была использована Эшером при создании картины «Птицы» (см. рис. 1), поэтому я сфотографировал процесс превращения квадрата в птицу. Когда я выполнял фотографии, сочинил стихотворение:

Жил-был Квадрат, любил мечтать,

Но вдруг решил он полетать.

Поможем мы ему слегка.

Изменим у него бока.

Сначала справа уберем,

И сверху малость отщипнем.

Внизу немного изгибаем,

И снова справа отрезаем,

Квадрату - крылья оформляем.

И вот уже птенец готов.

Взмахнул крылом - и был таков!

Иллюстрации к стихотворению приведены на фото 2-8 (см. также слайды №8-11 в презентации).

Фото 8.

На начальном этапе работы я провел опрос среди учащихся МБОУ «СОШ №24», МБОУ «Лицей №1» и МБОУ «Лицей ИГУ». Основная часть учеников (см. Приложение 1) ответила, что выбранная мною тема интересна, и они хотели бы расширить свой кругозор. Затем я выделил в некоторых картинах Эшера «базовые» геометрические фигуры, проиллюстрировал алгоритм трансформации соответствующих геометрических фигур в фигуры птиц и рыб, используя панель автофигур MS Word, а также выполнил фотографии и обработал изображения в графическом редакторе Photoshop.

В настоящее время есть художники, которые продолжают традиции М.К. Эшера. Яркий пример продолжения темы "Геометричекий паркет" в живописи - картины японского художника Makoto Nakamura [8].

2. Картины для кабинета математики

Используя технологии, изученные мною на интернет-курсах [9], я выполнил иллюстрации для кабинета математики. Формат этих работ – А3.

Фото 9. Вариация по картине «Птицы» (рис. 1).

Фото 10. Вариация по картине «Две птицы» (рис. 3).

3. Геометрический паркет на сферической поверхности и торе

Геометрический паркет встречается не только на плоскости. Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. Паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.

.

Фото 11.

В развернутом виде этот паркет представим в следующем виде.

Рисунок 5. Развертка.

Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.

Рисунок 6. Пример паркета на торе.

Замощение трехмерной поверхности многоугольниками используется в компьютерной графике. Метод повышения количества многоугольников в компьютерном моделировании называется тесселяцией.

Рисунок 7. Пример тесселяции с помощью треугольников.

4. Мозаика Пенроуза и квазикристаллы

Мозаика Пенроуза — замощение плоскости ромбами двух типов — с углами 72° и 108°; 36° и 144° таким образом, что любые два соседних ромба не образуют вместе параллелограмм. Эта мозаика, оставаясь симметричной, заполняет плоскость, не повторяясь.

Рисунок 8. Пример мозаики Пенроуза.

В1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института, занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит преломление. Оказалось, что математическая модель такого состояния вещества – мозаика Пенроуза. Такие кристаллы были названы квазикристаллами. В большинстве публикаций изящные мозаики Пенроуза с двумя и более фигурами признаются наиболее правильным ключом к пониманию структуры квазикристаллов [10].

5. Собственные разработки

С помощью редактора Paint на основе прямоугольников и шестиугольников мною были разработаны паркеты «Фараоны» и «Черепаха и ракушка», «Ягодная корзина» иллюстрации которых даны на рисунках 9-11 (слайд №12 в презентации).

Рисунок 9. Паркет «Фараоны».

Рисунок 10. Паркет «Черепаха и ракушка».

Рисунок 11. Паркет «Ягодная корзина».

Используя графические примитивы Microsoft Excel, я выполнил основные элементы–шаблоны для паркетов, приведенных на рисунках 9-11. С помощью этих шаблонов мною была создана игровая программа – тренажер для работы с мышкой «Паркет» (см. рис. 12-14).

Рисунок 12. Игра «Фараоны».

Рисунок 13. Игра «Черепаха и ракушка».

Рисунок 14. Игра «Ягодная корзина».

Добавление новых элементов для построения паркета происходит после нажатия командной кнопки (слайд №13 в презентации).

На данном этапе работы я нарисовал растровые и векторные рисунки двух видов паркетных узоров, а также научился делать визуальную запись макроса в Microsoft Excel.

Для демонстрация игровой программы нужно нажать командную кнопку с названием «Игра».

Замечание. По щелчку мыши по кнопке «Файл» происходит переход по гиперссылке на файл с игрой. Чтобы запуск игры прошел успешно, надо предварительно записать нужный файл на диск С.

Демонстрация игровой программы завершает информативную часть презентации.

6. Реализация тестирования в PowerPoint

Для закрепления пройденного материала в заключительной части презентации (слайды №14-23) реализовано итоговое тестирование учащихся. Это сделано для того, чтобы узнать, насколько внимательно класс слушал докладчика.

Алгоритм оценивания по результатам опроса можно представить с помощью графа. При верном ответе обозначим ребро графа знаком “+”, при неправильном ответе будем обозначать “-”. Вершины графа обозначим “?”, указывая рядом номер слайда из презентации. Чтобы разобраться в алгоритме, я ограничился (для простоты) тремя вопросами. В результате у меня получился вот такой граф:

На №14 слайде находится 1 вопрос, на слайдах №15 и №18 – второй вопрос, на слайдах №16, №19 и №20 – указан третий вопрос. Слайды №17, №21, №22 и №23 показывают результаты.

7. Проведение классного часа по теме «Магия Эшера»

Подготовленная мной презентация была показана в 7 классе МБОУ «СОШ №24».

Ученики проявили большой интерес к моему докладу. Им очень запомнился этот классный час!

Заключение

В работе над презентацией я расширил свой математический кругозор, изучил основы картин М.К. Эшера, разработал несколько узоров на примере базовых фигур, реализовал их в растровом и векторном виде, создал игровую программу в редакторе электронных таблиц Microsoft Excel, разработал мини-тест в PowerPoint.

Чтобы выяснить, насколько интересна учащимся выбранная мной тема, я провел опрос среди 90 учеников из МБОУ «СОШ №24», МБОУ «Лицей №1» и МБОУ «Лицей ИГУ». Мнения учащихся разделились (см. Приложение 1). Так как тема заинтересовала учеников средних классов (57% ответили утвердительно), то изложение материала было ориентировано на уровень знаний учащихся 6-7 классов.

По результатам работы был проведен классный час в 7 классе МБОУ «СОШ №24». Ученики слушали мой доклад с большим интересом. Их заинтересовали книги о художнике, о том, какие еще математические понятия изображал в своих картинах Эшер.

В дальнейшем я планирую включить в презентацию занимательные задачи по теме «Площадь» для учеников 8-х классов.

Список информационных источников

1. Солодуша П.Ю. Приключения Незнайки в Цифрограде // Оранжевое солнце, №1, 2011, с. 28-30. http://stranamasterov.ru/node/27974

2. Корепин В.Е. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант, №6, 1987, с. 2-6.

3. http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

4. Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие вселенной // Изд-во: Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2007, 912 с.

5. http://girlsale.ru/mauric-kornelis-ehsher.html

6. Магия М.К. Эшера // Изд-во: “Арт-Родник, Taschen”, 2007, 196c.

7. http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/index.asp

8. http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/index.asp

9. Проснякова Т.Н. Радужный мост. www.stranamasterov.ru

10. Белянин В. Квазикисталлы и золотая пропорция // Наука и жизнь, №10, 2005.

Приложение 1

Результаты анкетирования учащихся.