Просмотр содержимого документа
«20.11.Еще пример задания»
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.
Решение (1 способ):
Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2
это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число
определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .
очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение
остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение
или равносильное
относительно , причем нас интересуют только натуральные числа
получаем
при :
при : решения – не целые числа
при : и , второе решение не подходит
при : решения – не целые числа
таким образом, верный ответ: 6, 42.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем
таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:
так что первый ответ: 42.
остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше
поэтому , следовательно,
по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому
итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)
переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):
8 | 6 | | 3 | | | | Дальше делить нет смысла | 8 | 6 | | 4 | | | | | | | 8 | 6 | | 6 | | | | | 8 | 6 | | 7 | | | | |
8 | 4 | | 2 | 8 | | 3 | 8 | 4 | | 2 | 1 | | | 4 | | | 8 | 4 | | 1 | 4 | | 6 | | 8 | 4 | | 1 | 2 | | 7 | |
| 2 | | 2 | 7 | | 9… | | 2 | | 2 | 0 | | | 5… | | | | 2 | | 1 | 2 | | 2 | | | 2 | | | 7 | | 1 | |
| | | | 1 | | | | | | | 1 | | | | | | | | | | 2 | | | | | | | | 5 | | | |
таким образом, верный ответ: 6, 42.