20.5.Еще пример задания

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

• здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

• поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

• вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

1. итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

2. из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

3. в этой задаче есть только три таких делителя: и

4. таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .