20.9.Еще пример задания

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

1. нас интересуют числа от 1 до 30

2. сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

3. поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

4. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

1. таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

2. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

3. общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

1. используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

2. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

1. нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

2. поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

3. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

4. выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 30₅ = 15, 31₅ = 16, 32₅ = 17, 33₅ = 18 и 34₅ = 19

5. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .