26.2.Еще пример задания

У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:

1. прибавь 1

2. увеличь две младшие цифры на 1

Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – увеличивает на 1 число десятков и число единиц. Если перед выполнением команды 2 какая-либо из двух младших цифр равна 9, она не изменяется. Программа для Калькулятора – это последовательность команд.

Сколько есть программ, которые число 23 преобразуют в число 48?

Решение (1 способ, составление таблицы):

1. заметим, что при выполнении любой из команд число увеличивается (не может уменьшаться)

2. при заданных командах очередное число N может быть получено двумя способами:

3. увеличением на 1 (для всех чисел, больших начального числа)

4. увеличением обеих цифр на 1 в результате выполнения команды 2 (то есть, фактически командой «+11») – для всех чисел, больших или равных 23 + 11 = 34, которые НЕ оканчиваются на 0;

5. увеличением только младшей цифры на 1 в результате выполнения команды 2 (то есть, фактически командой «+1») – для всех чисел от 91 до 99, но в нашем диапазоне (23..48) таких нет

6. увеличением только старшей цифры на 1 в результате выполнения команды 2 (то есть, фактически командой «+10») – для всех чисел, больших 34 и имеющих 9 на конце; в нашем случае под этот вариант подходит только число 39

7. таким образом, рекуррентные формулы принимают вид

для всех чисел, меньших, чем 34, а также для всех чисел, оканчивающихся на 0

для чисел, больших или равных 34, кроме 39

для числа 39

1. других способов получения числа с помощью исполнителя с заданными командами нет, то есть мы таким образом рассматриваем все возможные программы

2. начальное значение: (число 23 можно получить единственной пустой программой)

3. далее заполняем таблицу:

здесь многоточия означают, что для всех чисел от 23 до 33 включительно количество программ равно 1;

1. например, для числа 47 количество программ вычисляется как

= 17 + 4 = 21

а для числа 39 –как

= 6 + 1 + 1 = 8

1. Ответ: 26