832к 15-05-2020 Постоянный ток

План выполнения занятия

1. Ознакомиться с лекционным материалом

2. Сделать краткий конспект лекции

3. Создать фотоотчет о проделанной работе в виде файла с именем фамилия_группа_дата занятия (например: Петров_832к_15-05-20)

4. Прикрепить созданный файл к ответу

Лекционный материал

Постоянный электрический ток.

1.Закон Ома для участка цепи. Сопротивление.

Носителями тока в металле являются свободные электроны. Наряду со свободными электронами в металлах имеются положительные заряды –ионы, расположенные в узлах кристаллической решётки и не принимающие участия в переносе тока. При отсутствии внешнего электрического поля свободные электроны движутся хаотически (беспорядочно) и ток в металле равен нулю. При наличии электрического поля они приобретают дополнительное упорядоченное движение(дрейф) против поля, создавая электрический ток.

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов, а сами заряды называются носителями тока.

Например, в металлах и полупроводниках носителями тока являются электроны, в жидких проводниках (электролитах) – положительные и отрицательные ионы, а в ионизированных газах – как ионы, так и электроны. За направление электрического тока условно принято направление упорядоченного движения положительных зарядов.

Для возникновения тока необходимо наличие электрической цепи.

Электрическая цепь – это состоящий из проводников замкнутый путь для тока.

Для поддержания тока в цепи нужен источник электрической энергии. Источником электрической энергии может быть батарея электрических элементов (химических источников тока) или генератор, преобразующий механическую энергию в электрическую. В роли приёмников электрической энергии могут выступать резисторы (реостаты), электрические лампочки, электролитические ванны, электродвигатели и ещё многие устройства, которые преобразуют электроэнергию в другие виды энергии. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

Силой тока называют величину I, численно равную заряду Δq , проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени:

I =∆ q/∆t (2.1)

Если сила и направление тока не меняются со временем, то сила тока равна:

I = q / t (2.2)

Где q – заряд, который переносится через поперечное сечение проводника за время t . Единица силы тока ампер (А). При токе в 1 А через полное сечение проводника за 1 с проходит заряд 1 Кл (кулон). Более мелкие единицы:

1мА = 10ˉ ³ А (миллиампер)

1мкА = А (микроампер)

Более крупная единица:

1кА = 10³ А (килоампер)

Посмотрим, какие силы тока встречаются на практике. Человек начинает ощущать проходящий через его тело ток, когда сила тока достигает 5мА.Ток силой 50мА опасен для жизни. Сила тока в лампочках накаливания 0,2 –1А(зависит от мощности лампы), в утюгах и электрокаминах 5 – 8А, в электродвигателях трамваев и троллейбусов свыше 100А. Для количественной оценки электрического тока используют также понятие плотности тока.

Плотность тока – это величина, численно равная величине заряда, проходящего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению движения зарядов:

j = I / S (2.4)

Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр – А/м²

Постоянным током называется такой ток, сила и плотность которого не меняются во времени.

Для постоянного тока сила тока одинакова во всех сечениях проводника. Если сила тока не остаётся постоянной, то мы говорим об изменяющемся токе. Частным случаем изменяющегося тока является переменный синусоидальный ток, который называют просто переменным током.

Электроны в проводнике движутся не свободно, а испытывают соударения с ионами кристаллической решётки, что тормозит их поступательное движение. Это противодействие проводника направленному движению зарядов называется сопротивлением проводника. Оно обозначается буквой r или R. В 1827 году Георг Ом экспериментально установил, что сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к концам этого участка, и обратно пропорциональна его сопротивлению.

I = U / R (2.6)

Это закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводника зависит от материала, из которого изготовлен проводник, его размеров и геометрической формы, а также от температуры. Для однородного проводника постоянного сечения:

R = ρ (l / S), (2.7)

ρ – удельное сопротивление, т.е. сопротивление проводника единичной длины с единичной площадью поперечного сечения;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения.

Сопротивление измеряется в омах ( обозначается Ом илиΩ)

1 кОм = 1000 Ом (кОм – килоом)

1 МОм = Ом (мегаом)

Удельное сопротивление служит для характеристики разных проводящих материалов. Единица измерения - Ом·м

Удельное сопротивление – это сопротивление между гранями куба с ребром в 1м, изготовленного из данного материала.

На практике пользуются другой единицей измерения удельного сопротивления:

Ω·мм²/м 1 Ω·мм²/м = 0,000001 Ω·м= 1µΩ·м; (микроом);

1 Ω·м = Ω·мм²/м.

Значения некоторых удельных сопротивлений указаны в таблице2.1.

Для изготовления электрических проводов используют медь и алюминий (серебро дорого). Для изготовления нагревательных приборов используют сплавы с высоким удельным сопротивлением, например, нихром.

Устройство, обладающее сопротивлением и используемое для ограничения тока в электрической цепи, называется резистором.

Величина g ,обратная сопротивлению, называется проводимостью.

g = 1 / R (2.8)

Единица измерения: сименс (См)

Сопротивление проводника зависит от температуры:

R_t = R_o [ 1 + α ( t – t_o )] (2.10)

Или для удельного сопротивления:ρt = ρ_o [ 1 + α(t – t_o )] (2.11),

Где Ro и ρо – сопротивление и удельное сопротивление при 20˚С (или начальное значение сопротивления или удельного сопротивления в условии задачи); Rt –величина сопротивления при температуре t; α –температурный коэффициент сопротивления, то есть изменение сопротивления величиной1Ω при изменении температуры на 1˚С, t_o–начальная температура. У металлов температурный коэффициент положительный,у электролитов и графита – отрицательный. Константан имеет очень низкий температурный коэффициент и используется в измерительных приборах.

Пример 1:

Сопротивление медного провода при температуре 20˚С составляет 100mΩ (миллиом). Какое сопротивление он будет иметь при температуре t = 95˚C?

Дано: Ro = 100 mΩ, to = 20˚С, t = 95˚С

R_t = 100 [ 1 + 0,004·( 95 – 20)] = 100 ( 1 +0,004·75 ) = 100 ( 1+0,3 ) = 130 mΩ

Ответ: 130 mΩ.

Пример2:

Найти сопротивление алюминиевого провода длиной 1км и сечением 2,5 мм².

Дано: l = 1км = 1000м, S = 2,5 мм², ρ = 0,0295 Ω·мм² / м. НайтиR.

Решение:

R = ρ·l /S

R = (0,0295 · 1000 ) /2,5 = 11,8 Ω

Ответ: 11,8 Ω.

Пример3:

1. Определить минимальный диаметр медной проволоки длиной 100м, если её сопротивление не должно превышать 1 Ω.

2. Чему равно сопротивление 1м медной проволоки диаметром 0,5мм?

1. Решение:

; ;

S = 0,0172·100 = 1,72мм²;

S = π·D²/4; D =√ 4·S/π =√1,72·4/3,14 = 1,4мм.

1. S = π·D²/4 = 3,14∙0,25/4 = 0,196мм²; R = ρ·l/S = 0,0172·1 / 0,196 = 0,0172 / 0,196 = 0,09Ω.

Пример 4.

Какое удельное сопротивление должен иметь материал провода диаметром 1мм, чтобы при длине 500м его сопротивление не превышало 20 Ω? Что это за металл?

Решение:

R = ρ·l/S ; ρ = R·S / l;

S = π·D²/4 = 3.14 / 4 = 0,785мм²

ρ = 20·0,785 / 500 = 0,031 Ω·мм²/м. Алюминий.

Пример 5.

При измерениях было установлено, что переменный резистор, изготовленный из проволоки длиной 10м и диаметром 0,6мм, имеет сопротивление 50Ом. Из какого материала или сплава изготовлен резистор?

Дано: l = 10м, R = 50 Ом, D = 0,6мм.

ρ = ?

Решение:

ρ = R·S / l = 50 · {[(3,14 · 0,36) / 4 ]/10} = 1,41 Ω· мм² / м.

Ответ: фехраль.

Пример 6.

Чему равно сопротивление резистора при температуре Т = 350К, если при температуре То = 300 К его сопротивление 10 кОм, а температурный коэффициент сопротивления

α = 0,002 1/град?

Решение: Rt = Rо[ 1 + α (t - tо)] = 10 [ 1 + 0,002 (350 – 300)]

= 10 (1 + 0,1) = 11кОм.

Ответ: сопротивление резистора при 350 К равна 11кОм.

2. Соединение сопротивлений

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении конец предыдущего проводника соединяют с началом последующего проводника.

При последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова:

I₁ = I₂ = I₃= ······ = I (2.12)

Напряжение U на концах всей цепи равно сумме напряжений на проводниках. Например, для случая трёх проводников: U = U₁ + U₂ + U₃ (2.13)

По закону Ома для участка цепи:

U₁ = I ·R₁; U₂= I · R₂; U₃ = I · R₃; U = I · R (2.14),

где

R₁, R₂, R₃ – сопротивления проводников.

R – общее сопротивление всего участка цепи.

Из (2.13) и (2.14) следует:

I * R = I * (R₁ + R₂+ R₃), откуда R = R₁ + R₂+ R₃ (2.15)

Для n последовательно включённых проводников:

R = R₁ + R₂ + R₃+······+ R_n (2.16)

Если все они имеют одинаковое сопротивление R₁, то R = n · R₁ (2.17)

При последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех проводников.

Из соотношения (2.14) следует, что

U₁ / U₂ = R₁/ R₂ (2.18)

Напряжения на последовательно соединённых проводниках прямо пропорционально их сопротивлениям.

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении начала всех проводников соединяют в одной точке, а их концы – в другой.

В этом случае сила тока I в неразветвлённой цепи равна сумме сил токов в параллельно соединённых проводниках:

I = I₁ + I₂ + I₃ (2.19)

Напряжение на концах проводников одинаково:

U₁ = U₂= U₃ = U (2.20)

По закону Ома: I₁ = U / R₁; I₂ = U / R₂; I₃ = U / R₃; I = U / R (2.21)

R₁, R₂, R₃ - сопротивления проводников, R - общее сопротивление участка цепи. Из (2.20) и (2.21)следует:

U / R = U / R₁ + U / R₂+ U / R₃, откуда:

1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂+ 1 / R₃

При параллельном соединении величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех проводников.

Если имеем n параллельно соединённых проводников, имеющих одинаковое сопротивление R₁,то общее сопротивление цепи:

R = R₁ / n (2.24)

Из (2.21) следует: I₁ / I₂ = R₂ / R₁ (2.25)

Силы токов в параллельно соединённых проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям.

.3. Смешанное соединение резисторов.

Первый случай:

Второй случай:

Пример 1.

Дано:

R1 = 10 Ω

R2 = 3 Ω

R3 =7 Ω

R4 =10 Ω

R5 = 10 Ω

R6 = 5 Ω

R7 = 6,67 Ω

Найти Rобщ

Решение:

R₂₃ = R₂ + R₃= 10 Ω

R₄₅ = R₄·R₅/ (R₄ + R₅) = 10·10 / 20 = 5 Ω

R₆₄₅ = R₆ + R₄₅= 5 + 5 = 10 Ω

Сопротивление левой части цепи:

R_л = 10 / 3 = 3,33 Ω ( R₁ = R₂₃ = R₆₄₅)

R_общ = R_л+ R₇ = 3,33 +6,67 = 10 Ω

Пример 2.

Напряжение на двух последовательных резисторах 30 В.

R₁ = 10 Ω, R2 = 20 Ω.

Какое падение напряжения на каждом сопротивлении?

Решение:

R₁ + R₂= 30 Ω

I = U / R = 30 / 30 = 1A

U₁ = I·R₁ = 1·10 = 10 B

U₂ = I·R₂ = 1·20 = 20 B

Или

U₂ = U– U₁ = 30 – 10 = 20 B.

Второй способ:

U₁ / R₁= U₂ / R₂,но U₂ = U – U₁, тогда U₁ / R₁ = (U – U₁) / R₂; U₁·R₂ = R₁· (U – U₁);

U₁·R₂=U·R₁ – U1·R₁, тогда U₁·R₂ + U₁·R₁ = U·R₁; U1· (R₁ + R₂) = U·R₁;

U₁ = U·R₁ /( R₁+ R₂) = 10·30 / 30 = 10 B; U2 = 30 – 10 = 20 V

3. Работа и мощность электрического тока

В электрических устройствах энергия электрического тока превращается в другие виды энергии. Например, в нагревательных приборах – в теплоту, в электрических лампочках – в световую и тепловую энергию. Превращение энергии из одного вида в другой характеризуется проделанной работой. Способность электроустройств совершать работу характеризуется мощностью. Мощность обозначается буквой Р.

Единица измерения мощности ватт: Вт или W.

1kW = 1000W (kW – киловатт)

1MW = 1000000W (MW – мегаватт)

Мощность может также измеряться в лошадиных силах.

1л.с. = 736 Вт = 0,736 кВт

1кВт = 1,36 л.с.

Мощность электрического устройства тем больше, чем больший ток оно потребляет и чем больше напряжение на его клеммах:

P = U·I

P – мощность (Вт, W); U – напряжение (В, V); I – ток (А)

Пример.

Дрель, работающая от напряжения 12 В, потребляет ток 25 А. Какова её мощность?

P = U·I = 12·25 = 300 Вт

Это потребляемая мощность. Только определённая часть этой мощности будет преобразована мотором в полезную мощность, т.е. мощность на валу электродвигателя дрели. В электромоторе часть мощности пойдёт на нагревание обмоток мотора, часть будет затрачена на преодоление силы трения. Полезная мощность всегда меньше потребляемой мощности. Это различие характеризуется коэффициентом полезного действия (к.п.д.), который обозначается буквой η(ню).

η = P2 / P1

P1 – потребляемая мощность

P2 – полезная мощность

Работа, которая может быть совершена электрическим устройством, кроме его мощности зависит от времени:

A = P·t = U·I·t

А – работа (Дж – джоуль)

Р – мощность (Вт)

t – время (сек)

U – напряжение (В – вольт)

I – ток (А – ампер)

1 Вт·сек – очень маленькая величина. Более крупные величины:

1 Вт·час = 3600 Вт·сек = 3,6 кВт·сек

1 кВт·час = 3,6МВт·сек.

Превращение электрической энергии в тепловую.

Закон Джоуля-Ленца.

При прохождении электрического тока через проводник он нагревается.

Энергия, выделяемая при этом равна: W = U·I·t. Т.к. по закону Ома U = I·R, то

W = I²·R·t (2.30)

Это закон Джоуля-Ленца, который формулируется следующим образом:

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике при прохождении по нему постоянного тока, прямо пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени его прохождения.

4. Расчёт проводов на потерю напряжения

Одним из практически важных расчётов электрических цепей является расчёт проводов на потерю напряжения.

При таком расчёте обычно задаются: напряжение источника U, расстояние от этого источника до приёмника электроэнергии l, сила тока I или мощность нагрузки P и номинальное напряжение Uн, которое необходимо для нормальной работы приёмников электроэнергии (например, электродвигателей, ламп накаливания и т.п.). Задача состоит в расчёте такого сечения проводов, при котором обеспечивается номинальное напряжение на зажимах источника электроэнергии. Согласно закону Ома, напряжение источника электроэнергии равно сумме падения напряжения на проводах и напряжения на нагрузке.

U = I·Rл + Uн (2.31)

Сопротивление проводов линии будет равно:

Rл = ρ·2·l / S (2.32),

где 2·l – общая длина линии; ρ – удельное сопротивление материала проводов; S – искомое сечение проводов.

Подставляя (2.32) в (2.31) получим,

S = I·ρ·2·l / ΔU, (2.33)

Где ΔU = (U– Uн) – потеря напряжения в линии.

Нагрузка в линии обычно бывает непостоянной и её колебания вызывают соответствующие изменения ΔU в проводах. Поэтому нужно рассчитывать отклонения напряжения на нагрузке от номинального значения при минимальном и максимальном режимах нагрузки. Рассмотрим, как влияет напряжение на распределение мощности в линии электропередачи. Возьмём уравнение (2.31):

U = I·Rл + Uн

Умножим это уравнение на силу тока I, получим:

I·U = I²·Rл +I·Uн (2.34)

Uн – напряжение на нагрузке,

I·U –мощность, отдаваемая источником электроэнергии,

I²·Rл– потери мощности в проводах линии на нагревание,

I·Uн –мощность, потребляемая нагрузкой.

Если повысить в два раза напряжение источника электроэнергии, то сила тока в линии при той же передаваемой мощности уменьшится в 2 раза, а потери мощности в проводах уменьшатся в 4 раза, так как они пропорциональны I². Следовательно, для уменьшения потерь в линиях передачи желательно передавать электроэнергию при возможно более высоком напряжении.

5. Источники электрического тока.

Электродвижущая сила. Закон Ома для замкнутой цепи

Для поддержания в проводнике постоянного тока в течение определённого времени необходимо, чтобы напряжённость электрического поля внутри проводника была отлична от нуля и не изменялась со временем. Если создать в проводнике электрическое поле, то перемещение зарядов приведёт к исчезновению этого поля, т.е. к исчезновению разности потенциалов на концах проводника и к прекращению тока.

Для поддержания тока необходимо отводить заряды от конца проводника с меньшим потенциалом φ₂ и подводить их снова к концу проводника с большим потенциалом φ₁, т.е. необходимо осуществить круговое движение зарядов. Движение положительных зарядов в сторону убывания потенциала осуществляется электростатическими силами. Движение положительных зарядов в сторону возрастания потенциала не может осуществляться этими силами, т.к. это движение происходит против них. Это возможно лишь с помощью сил не электростатического происхождения. Их называют сторонними силами. Они могут быть обусловлены химическими процессами, электромагнитной индукцией в машинных генераторах, лучистой энергией в фотоэлементах. Эти сторонние силы создают внутри источника электроэнергии электродвижущую силу (ЭДС), являющуюся в цепи причиной перемещения положительных зарядов от точек низшего потенциала. ЭДС как бы поднимает электрические заряды на высший энергетический уровень.

Работа, выполняемая сторонними силами, отнесённая к единице положительного заряда, называется электродвижущей силой.

E = A / q (2.35)

А – работа, q – заряд, Е – ЭДС. ЭДС измеряется в вольтах.

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из источника ЭДС Ес внутренним сопротивлением r и сопротивлением нагрузки R.

Из закона сохранения энергии следует, что запас работы сторонних сил в источнике тока расходуется на полную работу тока в цепи, т.е.превращается в тепло, как на r, так и на R. Из (2.35) A = Eq, тогда Eq = I²Rt + I²rt (2.36)

Разделим обе части этого уравнения на величину заряда q = It, получим:

I = E / (R + r) (2.37)

Это закон Ома для замкнутой цепи:

Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна эдс источника тока и обратно пропорциональна сумме сопротивлений внешнего и внутреннего участка цепи.

( Эту сумму называют полным сопротивлением цепи).

6. Разветвлённые цепи. Законы Кирхгофа

Два закона Кирхгофа служат для расчёта сложных электрических цепей и полностью определяют их электрическое состояние. Возьмём такую электрическую цепь:

Для сложных цепей применяют понятие ветви, узла и контура.

Ветвь – это участок цепи, по которому проходит один и тот же ток и, который состоит из последовательно соединённых элементов – резисторов, источников электроэнергии и т.п.

Узел – это место соединения трёх и более ветвей

Контур цепи – это любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по нескольким её ветвям.

Первый закон Кирхгофа относится к узлам электрической цепи. Согласно этому закону: алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю.

∑ I = 0 (2.38)

На рисунке I – I₁ – I₂= 0 или I = I₁ + I₂

Второй закон Кирхгофа характеризует равновесие в замкнутых контурах электрической цепи. Согласно этому закону в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на резисторах, входящих в этот контур, иными словами, в любом замкнутом электрическом контуре сумма всех падений напряжений равна сумме всех ЭДС в нём.

∑ Е =∑ I·R (2.40)

В этом выражении положительными следует считать ЭДС и токи, направления, которых совпадают с произвольно выбранными направлениями обхода рассматриваемого контура.

Возьмём следующую цепь:

Для составления уравнений двух законов Кирхгофа при расчёте токов в подобной цепи сначала произвольно размечаем направление токов в ней. Затем при составлении уравнений для узлов следует иметь в виду, что число независимых уравнений будет на 1 меньше числа узлов m, т. е. число этих уравнений будет m – 1.

Для узла а: - I₁ – I₂+ I₃ = 0

Для узла b: -I₃ + I₁+ I₂ = 0,

Т.е. второе уравнение содержит те же токи, что и первое уравнение и будет лишним. При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа надо так выбрать контуры обхода, чтобы в каждый последующий контур входило не менее одной ветви, не включённой в ранее обойдённые контуры. Число ветвей n равно числу неизвестных токов. Для определения этих n токов уже составлено на основании первого закона Кирхгофа (m – 1) уравнений. Следовательно, для расчёта токов согласно второму закону Кирхгофа нужно составить ещё n – m + 1 уравнений.

Для нашей схемы, где n = 3, а m = 2, число уравнений второго закона Кирхгофа будет n – m + 1 = 3 – 2 + 1 =2. Эти уравнения будут:

E₁ = I₁·R₁+ I₃·R₃

E₂ = I₂·R₂+ I₃·R₃

(третий контур в этой цепи содержит ветви, уже вошедшие в первые 2 контура, поэтому уравнение E₁ – E₂ = I₁·R₁ – I₂·R₂ будет для расчётов ненужным).

Таким образом, чтобы определить n неизвестных токов, составляют n уравнений, которые решают совместно. Если при решении окажется, что значение каких-либо токов отрицательно, то из этого следует, что действительное направление токов противоположно принятому в начале расчёта.,

Пример1.

В озьмём цепь, состоящую из двух параллельных источников, замкнутых на сопротивление.

Дано:

Е₁ = Е₂ = 120 В

r₁ = 3 Ом

r₂ = 6 Ом

R= 18 Ом

Найти: I₁, I₂, I.

Т.к. число неизвестных токов 3, то необходимо составить 3уравнения. По первому закона Кирхгофа:

I = I₁ + I₂

Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивления нагрузки.

E₁ = I₁·r₁ + I·R

Аналогично запишем третье уравнение:

E₂ = I₂·r₂ + I·R

Получим систему уравнений:

I = I₁ + I₂

E1 = I₁·r₁ + I·R

E2 = I₂·r₂ + I·R

Подставим числовые значения:

I = I₁+ I₂ (1)

120 = 3·I₁ + 18·I (2)

120 = 6·I₂ + 18·I (3)

Вычтем из второго уравнения третье, получим

0 = 3·I₁ – 6·I₂, откуда

2·I₂ = I₁, тогда из первого уравнения:

I = 2·I₂+ I₂ = 3·I₂

Подставим во второе уравнение:

120 = 6·I₂ + 18·3·I₂ = 60·I₂, откуда

I₂ = 2 A

I₁ = 4A

I = 6A.

Решим эту же задачу, взяв другие контура.

I = I₁ + I₂

E1 – E₂ = I₁·r₁– I₂·r₂

E2 = I₂·r₂ + I·R

Подставим числовые значения.

I = I₁ + I₂

120 – 120 = 3·I₁ – 6·I₂

120 = 6·I₂ + 18·I

I = I₁ + I₂ I = I₁ + I₂ (1)

3·I₁ – 6·I₂= 0 = I₁ = 2·I₂ (2)

18·I + 6·I₂ = 120 3·I + I₂ = 20 (3)

Подставим (2) в (1), получим:

I = 2·I₂+ I₂ = 3·I₂,

теперь подставим значение I в(3): 3·3I₂ + I₂= 20 =10·I₂ = 20, откуда

I₂ = 2 A

I₁ = 4 A

I = 6 A

Получили те же ответы.

П ример 2.

Дано:

Е₁ = 110 В, Е₂ = 60 В, R₁ = 10 Ом, R₂ =5Ом, R₃ = 20 Ом.

Определить: I₃

Составим уравнения:

I₁ = I₂ + I₃

E₁ = I₁·R₁+ I₃·R₃

E₂ = I₂·R₂– I₃·R₃

I₁ = I₂ + I₃

110 = 10·I₁ + 20·I₃

60 = 5·I₂ – 20·I₃

Сложим второе и третье уравнения, получим

170 = 10·I₁ + 5·I₂ или, поделив на 5: 34 = 2·I₁+ I₂, откуда

I₂ = 34 – 2·I₁ (*), подставив (*) в первое уравнение, получим:

I₁ = 34 – 2I₁ +I₃,откуда I₃ = 3·I₁ – 34.

Подставим значения I₂ и I₃, выраженные через I₁в третье уравнение:

60 = 5·(34 - 2·I₁) – 20·(3·I₁– 34)

60 = 170 – 10·I₁ – 60·I₁+ 680

60 – 170 – 680 = - 10·I₁ – 60·I₁,умножим на -1

680 + 170 – 60 = 70·I₁

790 = 70·I₁

I₁ = 11,286 A

I₃ = 3I₁ – 34 = 11,286·3 – 34 = - 0,14 A.

Как видим, I₃ имеет отрицательное значение. Значит на самом деле направление тока I₃ противоположное, чем на нашей схеме.

П ример 3.

Дано: R = 2 Ом, Е = 15 В. Определить: I₁, I₂, I₃.

Составим уравнения:

E + E = I₁∙R + I₁∙R– I₂∙R

– E – E = I₂·R – I₃·R

I₁ + I₂ + I₃= 0

30 = 4·I₁ – 2·I₂ (1)

– 30 = 2·I₂ – 2·I₃ (2)

I₁ + I₂ + I₃= 0 (3)

Сложим (1) и (2):

0 = 4·I₁ – 2·I₃, откуда

I₃ = 2·I₁ (*)

Подставим (*) во второе уравнение:

– 30 = 2·I₂ – 4·I₁

2·I₂ = – 30 + 4·I₁

I₂ = 2·I₁ – 15 (**).

Подставим (*) и(**) в (3):

I₁ + ( 2·I₁ – 15 ) + 2·I₁ = 0

I₁ + 2·I₁ – 15 + 2·I₁= 0 5·I₁ = 15;

I₁ = 15 / 5 = 3 A

I₃ = 6A: I₂ = – 9 A.