А10 Предел в точке п.36 УМК Мерзляк Углубленный уровень

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке.

Учитель математики Ильясова Н. А.

МБОУ «СОШ №14 с УИОП»

Предел функции в точке 

4

2

2

2

3

3

3

3

Предел функции  

Окрестность точки

Что такое проколотая окрестность?

Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 .

Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при

), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке

ε окрестность точки А

y

А

0

х 0

х

δ окрестность точки x 0

Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Предел функции

Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности .

36.1. Теорема об арифметических действиях с пределами функций

• Теорема. Если при х  а функции f1(x) и f2(x) стремятся каждая к конечному пределу, то:

6

Примеры 

Предел функции  

Функцию

называют непрерывной

, если она непрерывна в

на промежутке

каждой точке этого промежутка.

Примерами непрерывных функций на всей числовой

прямой являются:

а

Функция

непрерывна на луче

непрерывна на промежутках

функция

Упражнения: