Арифметикалык прогрессиялар

Тема: Арифметикалык прогрессиялар.

1. Арифметикалык прогрессиянын аныктамасы.

2. Арифметикалык прогрессиянын n-мүчөсүнүн формуласы.

3. Арифметикалык прогрессиянын мүнөздүү касиети.

4. Арифметикалык прогрессиянын алгачкы n мүчөсүнүн суммасынын формуласы.

Аныктама. Экинчи мүчөсүнөн баштап, ар бир мүчөсү мурда келүүчү мүчөгө бир эле санды кошуудан алынган удаалаштык арифметикалык про-грессия деп аталат.

Каалагандай n натуралдык саны үчүн шарты аткарылса, анда удаалаштыгы арифметикалык прогрессия болот, мында d – кандай-дыр бир сан. Аныктама боюнча, экинчи мүчөсүнөн баштап каалагандай мү-чөсү менен d га барабар: , бул сан арифметикалык прогрессия-нын айырмасы деп аталат.

Арифметикалык прогрессияны берүү үчүн анын биринчи мүчөсүн айырмасн көрсөтүү жетиштүү.

Мисалдар келтиребиз.

1. Эгер болсо, анда 1; 3; 5; 7; 9; …

2. эгер болсо, анда 2; -1; -4; -7; -10; …

3. эгер болсо, анда 4; 4; 4; 4; 4; … арифметикалык прогрессиялары алынат.

Арифметикалык прогрессиянын аныктамасы боюнча

= + d,

= + d = ( + d) + d = + 2d,

= + d = ( + 2d) + d = + 3d,

= + d = ( + 3d) + d = + 4d

ушундай эле жол менен = + 5d, = + 6d экендигин алууга болот, жыйынтыктап алганда жалпы мүчөсү = + (n - 1) d келип чыгат, бул арифметикалык прогрессиянын n – мүчөсүнүн формуласы деп аталат.

1-мисал. удаалаштыгы – арифметикалык прогрессия, мында =2,3 жана d =0,45. Бул прогрессиянын онунчу жана жүзүнчү мүчөлөрүн тапкыла.

Чыгаруу: = + 9 d = 2,3 + 9 0,45 = 2,3 + 4,05 = 6,35;

= + 99 d = 2,3 + 99 0,45 = 2,3 + 44,55 = 46, 85.

2-мисал. 71 саны -10; -5,5; -1; 3,5; … удаалаштыгынын мүчөсү боло тургандыгын көрсөткүлө.

Чыгаруу: Берилген арифметикалык прогрессияда = -10 жана d = - = -5,5 – (-10) = 4,5. Прогрессиянын n – мүчөсүнүн формуласы төмөнкүдөй болот: =-10 + 4,5(n-1), б. а. = 4,5 n – 14,5.

4,5 n – 14,5 = 71 же 4,5 n = 85,5 же n = 19. Демек, 71 саны прогрессиянын 19-мүчөсү болуп эсептелет.

Арифметикалык прогрессиянын мүнөздүү касиети.

Теорема. Арифметикалык прогрессиянын ар бир орто мүчөсү андан бирдей алыстатылган мүчөлөрүнүн арифметикалык орточосуна барабар, б. а.

= , (p ).

Далилдөө. Жалпы мүчөнүн формуласы боюнча

= + d (k – p - 1),

= + d (k + p - 1).

Бул барабардыктарды мүчөлөп кошуп төмөнкүнү алабыз:

= 2 + 2d (k – 1) =2( + d (k – 1)),

же болбосо

= 2 .

Мындан = экендиги келип чыгат.

Мисалы, = , = , = .

Алгачкы жүз натуралдык сандын суммасын табуу талап кылынсын. Сан-дарды түздөн-түз кошууну аткарбастан туруп, бул маслени кандай чыгаруу керек экендигин көрсөтөбүз.

Изделүүчү сумманы S аркылуу белгилейбиз, аны биринчи жолу кошу-луучулары өсүү тартибинде жайланышкандай, ал эми экинчи жолу кемүү тартибинде жайланышкандай кылып эки жолу жазабыз:

S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Бири экинчисинин астында жайланышкан сандардын ар бир түгөйүнүн суммасы 101 ди берет. Мындай түгөйлөрдүн суммасы 100 гө барабар. Ошон-дуктан, барабардыктарды мүчөлөп кошуп төмөндөгүнү алабыз: 2 S=101 100, S = = 5050. Ошентип, 1+2+3+…+98+99+100 = 5050.

Ушуга окшогон талкуулоолордун жардамы менен каалагандай арифме-тикалык прогрессиянын алгачкы мүчөлөрүнүн суммасын табууга болот.

арифметикалык прогрессиясынын алгачкы n мүчөсүнүн суммасын аркылуу белгилейбиз, ал сумманы, биринчи учурда алардын кошулуучу-ларынын номерлеринин өсүү тартибинде, ал эми экинчи учурда кемүү тарти-бинде жайлаштырып экинчи жолу жазабыз:

= + + + … + + + , (1)

= + + + … + + + . (2)

Прогрессиянын бири экинчисинин астында жайланышкан мүчөлөрүнүн ар бир түгөйүнүн суммасы + ге барабар. Чындыгында эле,

+ = ( + d) + ( - d) = + ,

+ = ( +2 d) + ( - 2d) = + ,

+ = ( +3 d) + ( - 3d) = + ж. б.

Мындай түгөйлөрдүн саны n ге барабар. Ошондуктан (1) жана (2) бара-бардыктарды мүчөлөп кошуп, төмөнкүнү алабыз: 2 = ( + ) n.

Мындан арифметикалык прогрессиянын алгачкы n мүчөсүнүн суммасынын формуласын алабыз: = .

Бул арифметикалык прогрессиянын биринчи жана акыркы мүчөлөрү берилгенде анын мүчөлөрүнүн суммасын табуунун формуласы.

Мындан жалпы мүчөсүнүн ордуна анын формуласын коюп төмөнкүнү алабыз: = = = .

Жыйынтыктап алганда = . Бул арифметикалык прогрес-сиянын бринчи мүчөсү жана айырмасы берилгендеги арифметикалык про-грессиянын алгачкы n мүчөсүнүн суммасын табуунун формуласы болуп эсептелет.

1-мисал. 1; 3,5; … арифметикалык прогрессиясынын алгачкы 20 мүчө-сүнүн суммасын тапкыла.

Чыгаруу: Бул прогрессияда = 1, d = 3,5 – 1 = 2,5, мындан кийин мүчөсүн табабыз: = 1 + 2,5 19 = 48,5.

Эми алгачкы 20 мүчөсүнүн суммасын табабыз:

= = 49,5 10 = 495. Жообу: = 495.

2-мисал. 1 ден n ге чейинки натуралдык сандардын суммасын тапкыла.

Чыгаруу: Мында 1 + 2 + 3 + … + n суммасын табуу маселеси коюлуп жатат. Бул прогрессияда 1 экендиги белгилүү, анда ал сумма төмөнкүдөй эсептелет: = 1 + 2 + 3 + … + n = = .

Жообу: 1 + 2 + 3 + … + n = .

3-мисал. Алтыга эселүү жана 250 дөн ашпаган бардык натуралдык сандардын суммасын тапкыла.

Чыгаруу: Мында 6 га эселүү сандарды = 6 n формуласы менен берүү-гө болот. Ал эми 6 n 250 болушунан кайсы мүчөсүнө чейин каралышы аныкталат, андыктан n 41 болушу белгилүү болот, демек, берилген прог-рессиянын алгачкы 41 мүчөсүнүн суммасын табуу керек, андай болсо = 6, d = 6 экендиги анык болот жана

= = = 5166.

Жообу: = 5166.

Өз алдынча иштөө үчүн тапшырмалар.

№ 1.

арифметикалык прогрессиясынын биринчи мүчөсү жана айырмасы белгилүү. болсо, мүчөсүн тапкыла.

№ 2.

арифметикалык прогрессиясында болсо, мүчөсүн тапкыла.

№ 3

арифметикалык прогрессиясында, эгер болсо, айырмасын тапкыла.

№ 4

арифметикалык прогрессиясында, эгер болсо, айырмасын тапкыла

№ 5

Эгерде болсо, 26,3 саны арифметикалык прогрессиясынын мүчөсү боло алабы?

№ 6

Эгерде болсо, 32,6 саны арифметикалык прогрессиясынын мүчөсү боло алабы?

№ 7

Эгерде болсо, арифметикалык прогрессиясынын алгачкы 30 мүчөсүнүн суммасын тапкыла.

№ 8

Эгерде болсо, арифметикалык прогрессиясынын алгачкы 20 мүчөсүнүн суммасын тапкыла.

№ 9

Арифметикалык прогрессияда

а) , = 384 болсо, жана ди тапкыла;

б) d = , n = 37, = 209 болсо, жана ди тапкыла;

в) d = 2,5, = 27, = 157,5 болсо, жана n ди тапкыла;

г) = 100, = 900 болсо, ты тапкыла.

№ 10

Алгачкы n мүчөлөрүнүн суммасы төмөнкү формула менен аныкталуучу удаалаштыгы арифметикалык прогрессия болуп эсептелеби?

а) = - 2 n; б) = - 4 + 11; в) = 7 n -1.

№ 11

а) = 1,5 n – 48; б) = 2,8 n – 125 формуласы менен берилген удаалаштыктын бардык терс мүчөлөрүнүн суммасын тапкыла.