Авторская разработка урока "Арифметическая прогрессия"

Повторение.

1. Дайте определение арифметической прогрессии.

2. Приведите примеры арифметической прогрессии.

3. Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии.

4. Формула для нахождения разности арифметической прогрессии.

5. Формула n -ого члена арифметической прогрессии.

a n+1 = a n +d ,

d = a n+1 - a n

a n =a 1 +(n-1)d

Задача.

В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13…

Можно ли восстановить утраченные числа?

Заметим, что a 3 =a 1 +2 d , a 5 =a 3 +2 d , a 7 =a 5 +2 d и т.д.

Тогда d = ( a n+2 - a n ):2 , то есть d = 2.

Искомая последовательность

3, 5 , 7, 9 , 13, 15 , …

Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пусть a n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:

a n - a n-1 =a n+1 - a n ,

2 a n =a n-1 +a n+1 ,

a n =( a n-1 +a n+1 ):2

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

Учебник, стр. 128

№ 446 (а, в), 448 (а, в), 449 (а, в)

№ 451 (а, в)

Домашнее задание

№ 446(б, г), 448 (б, г), 449 (б, в)

№ 451 (б, г)

Задача.

• Числовая последовательность задана формулой a n =3+5 n , n =1,2,3,…
• Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность?

• Решение:

Поскольку a n+1 =3+5( n +1)=3+5 n +5= a n +5 , при всех значениях n , то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы a n+1 = a n +5 разность этой прогрессии равна 5.

Интересный факт

• Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a n =kn+b, где k и b – некоторые числа.

a n =a 1 +d(n-1)=dn+(a 1 -d)

• Последовательность( a n ), заданная формулой вида

a n =kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

a n+1 -a n =k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

Задача.

• Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

• Дано: a 7 =1, a 7 =a 4 -a 2 .
• Найти: a 1 .
• Решение:

По условию a 7 =a 4 -a 2 , то есть a 7 = 2 d ,

но a 7 =1, поэтому d =0,5 .

a 7 =a 1 +6 d ,

a 1 =a 7 - 6 d ,

a 1 =1-6·0,5,

a 1 =-2

Домашнее задание:

• пункт 25,
• № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.
• Творческое задание:

Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k выполняются равенства и