МБОУ «ЯРЦЕВСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА №1»
ЯРЦЕВСКОГО РАЙОНА СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:
«Квадратные уравнения»
Учитель: Береснева Л.А.
Квалификационная категория: первая
2017 год
Цель урока:
Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме;
Развитие исследовательских умений.
Ход урока:
Организационный момент.
Учитель. Сегодня мы завершаем изучение темы « Квадратные уравнения». Цель этого урока- вспомнить способы решения квадратных уравнений различных видов, систематизировать имеющиеся знания и самостоятельно получить некоторые дополнительные формулы, облегчающие решение квадратных уравнений в некоторых случаях.
Блиц – опрос
1. Какое уравнение называется квадратным? (ах2+вх+с=0 при всех а, кроме 0)
2. Как называется выражение вида в2-4ас ? ( Дискриминант)
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение приД=0? ( Один )
4. Какое максимальное число корней может иметьквадратное уравнение? В каком случае? ( Два, если Д больше 0)
Какоеквадратное уравнение называется приведённым ? ( У которого а=1)
6. Назовите математика доказавшего, что сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному числу. ( Франсуа Виет)
7. Всегда ли можно применять теорему Виета? ( Нет, только когда Д больше или равен 0)
8. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. ( Если числа mи n таковы, что m+ n=-р,m.n =q, то они являются корнями уравнения х2+рх +q =0.)
9. Какое уравнение называется неполным квадратным? ( У которого в или с равны 0)
10. Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Назовите их. ( 3; ах2+вх=0, ах2+с=0,ах2=0 .)
11. Какая теорема планиметрии часто используется при решении задач на составление квадратного уравнения? ( Теорема Пифагора )
12. Сформулируйте эту теорему. (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)
Повторение
Учитель. Мы уже вспомнили имя Франсуа Виета – одного из математиков, занимавшихся изучением уравнений и их классификацией. Сейчас, вспоминая основные способы решения квадратных уравнений, мы узнаем имя другого математика, жившего в Древней Греции и посвятившего решению квадратных уравнений много времени.
На доске записаныквадратные уравнения и соответствующие им буквы. Отвечая на вопрос, вам нужно выбрать из предложенных такое уравнение, которое проще решить указанным способом, назвать букву и составить слово
А | 3х2-2х-5=0 |
Д | х2=5 |
И | 7х2+14х=0 |
Н | х2+5х+4=0 |
О | х2+4х+4=0 |
Т | х2-4=0 |
Ф | 2х2-11х+5=0 |
Е | х2+2х=х2+6 |
Какое уравнение удобнее решать:
- извлечением квадратных корней из обеих его частей? (Д)
-вынесением общего множителя за скобки? (И)
-представляя его в виде квадрата двучлена? (О)
-используя общую формулу корней? (Ф)
-по формуле, связанной с чётностью второго коэффициента? (А)
-по теореме, обратной теореме Виета? (Н)
- разложением на множители по формуле разности квадратов? (Т)
Изучение нового материала
1. На доске записаны два уравнения: 3х2+4х-5=0 и 3х2-4х+5=0. Выясните, имеют ли они корни (1 уравнение: да, Д=76;2 уравнение: нет, Д=-44)
2. В каком случае, не находя дискриминанта, можно утверждать, что уравнение имеет корни? ( Если первый и третий коэффициенты имеют противоположные знаки. )
3. Как определить знаки корней квадратного уравнения? ( С помощью теоремы Виета)
4. С чего лучше начать решение следующих квадратных уравнений: 2х2+4х--10=0 и -3х2+7х-8=0? (Разделить обе части на одно и то же число.)
5. Решите квадратные уравнения и заполните предложенную таблицу (частично заполненные бланки выдаются учащимся, они заполняют колонки, выделенные фоном).
№ | Уравнение ах2+вх+с=0 | а | в | с | Х1 | Х2 |
1 | х2+4х+3=0 | 1 | 4 | 3 | -3 | -1 |
2 | х2-4х+3=0 | 1 | -4 | 3 | 3 | 1 |
3 | х2+4х-5=0 | 1 | 4 | -5 | -5 | 1 |
4 | х2-4х-5=0 | 1 | -4 | -5 | 5 | -1 |
5 | 3х2-2х-5=0 | 3 | -2 | -5 | 5/3 | -1 |
6 | 2х-5вх+3=0 | 2 | -5 | 3 | 3/2 | 1 |
7 | 3х2-5х+2=0 | 3 | -5 | 2 | 2/3 | 1 |
8 | 2х2-11х+5=0 | 2 | -11 | 5 | 5 | 1/2 |
9 | 3х2-х-4=0 | 3 | -1 | -4 | 4/3 | -1 |
10 | 12х2+13х+1=0 | 12 | 13 | 1 | -1/12 | -1 |
6 .Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице? Есть ли среди представленных уравнений те, которые не удовлетворяют этим закономерностям?
Возможные результаты анализа.
Наблюдение 1.Все уравнения, кроме восьмого, имеют корень 1 или -1.
Наблюдение 2. Есть уравнения, имеющие одинаковые по модулю соответствующие коэффициенты и обладающие свойством 1.
Гипотеза 1. Возможно, наличие у уравнения корня 1 или -1, зависит от его коэффициентов.
Гипотеза 2. Пусть дано квадратное уравнение вида ах2+вх+с=0. Если а+в+с=0, то х1=1 и х2=с/а.
Гипотеза 3. Пусть дано уравнение вида ах2+вх+с=0. Если а-в+с=0, то х1=-1 и х2=-с/а. Гипотезы 2 3 доказываются под руководством учителя.
Самостоятельная работа.
Учащимся раздаются чистые листы формата АА.
А. (1 мин.) На лежащих перед вами листах в правом верхнем углу запишите свою фамилию и составьте 5 уравнений ( не более чем с трёхзначными коэффициентами), для решения которых применяются доказанные гипотезы. Поменяйтесь листами с соседом по парте.
Б. (2 мин )На полученных листах запишите в нижнем углу свою фамилию и решите предложенные уравнения, используя гипотезу. Сдайте листы учителю.
Решение нестандартных задач.
1. Найдите ошибку в рассуждениях:
1.16-36=25-45,
16-36+20,25=25-45+20,25
42-2*4*9/2=52-2*5*9/2+(9/2)2,
(4-9/2)2=(5-9/2)2,
4-9/2=5-9/2,4=5,2*2=5.
2. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+
√3 и 2-√3. (х2-4х+1=0)
3. Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек присутствовали на заседании? (12)
4. Решите древнюю индийскую задачу.
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще? (16 или 48)
Задание на дом
1. Решите каждое из квадратных уравнений не менее, чем двумя способами: а) х2+х=90; б) -4х=7х2; в) 1/5х2+х-10=0; г) х2+4х-5с=0.
2. Разность корней уравнения: ах2+вх+с=0равна 1,5. Найдите с.
3. *Решите уравнение двумя способами: (х+3)2-2 (х+3)-8=0.
Литература:
1. Ершов А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и по геометрии для 8 класса.- М.: Илекса, 2002.
2 .Отдыхаем с математикой: внеклассная работа по математике в 5- 11 классах /Авт. – сост. М. а. Иченская. – Волгоград: Учитель, 2006.
3. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. – М. : Триада- литера, 1994.
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М. : Аванта + , 2004.