Բազմանդամի մնացորդով բաժանումը մեկ այլ բազմանդամի վրա

A=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 բազմանդամը, և նրա

B=bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0 բազմանդամի վրա բաժանելու հարցը, որտեղ՝ B-ն ոչ  զրոյական բազմանդամ է, որի աստիճանը չի գերազանցում A-ի աստիճանը, այսինքն՝  bm≠0 և m≤n

Հիշենք սահմանումը:

A բազմանդամը մնացորդով բաժանել B բազմանդամի վրա, նշանակում է գտնել այնպիսի  Q  և  R  բազմանդամներ, որ տեղի ունենա A=Q⋅B+R հավասարությունը, ընդ որում  R  բազմանդամի աստիճանը փոքր լինի  B  բազմանդամի աստիճանից:

A  բազմանդամի դերում դիտարկենք  Pn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0  բազմանդամը (ներքևի ինդեքսը ցույց է տալիս, որ Pn(x)-ը  n-րդ աստիճանի բազմանդամ է), իսկ  B բազմանդամի դերում՝  x−a  երկանդամը, որտեղ  a-ն որևէ թիվ է:

Նկատենք, որ  x−a  երկանդամը 1 աստիճանի բազմանդամ է, և հետևաբար, վերևի  m≤n պայմանը (հիմա այն ունի  1≤n  տեսքը) կատարվում է:

Հետևաբար, կիրառելով մնացորդով բաժանման սահմանումը,  A=Q⋅B+R հավասարության դերում ստանում ենք՝ Pn(x)=(x−a)⋅Q(x)+R հավասարությունը, որտեղ Q-ն քանորդն է, իսկ R-ը՝ մնացորդը:

Քանի որ մնացորդի աստիճանը պետք է փոքր լինի x−a երկանդամի աստիճանից՝ 1-ից, ապա այս դեպքում R մնացորդը թիվ է: Գտնենք այդ թիվը:

Pn(x)=(x−a)⋅Q(x)+R հավասարության ձախ մասը n-րդ աստիճանի բազմանդամ է, ուրեմն աջից ևս n-րդ աստիճանի բազմանդամ պիտի լինի:

Քանի որ R-ը թիվ է, ուրեմն  (x−a)⋅Q(x) բազմանդամի աստիճանը պետք է հավասար  լինի n -ի , այսինքն Q-ն պիտի  լինի n−1 աստիճանի բազմանդամ:

Հիմա Pn(x)=(x−a)⋅Q(x)+R հավասարությունը կարելի է արտագրել այսպես՝

Pn(x)=(x−a)⋅Qn−1(x)+R

Եթե վերջին հավասարության մեջ տեղադրենք x=a, ապա կստանանք, որ R=Pn(a)

Սա հենց Բեզուի թեորեմի պնդումն է:

Բեզուի թեորեմը: Pn(x) բազմանդամը x−a երկանդամի վրա բաժանելուց ստացված R մնացորդը հավասար է  Pn(x)  բազմանդամի արժեքին  x=a կետում՝   R=Pn(a)

Բեզուի թեորեմից ստացվում են բազմաթիվ հետևանքներ: Դրանցից կարևոր է հետևյալը.

Եթե  a  թիվը  Pn(x)  բազմանդամի արմատն է, ապա այդ բազմանդամն անմնացորդ բաժանվում է  x−a  երկանդամի վրա:

Իրոք, եթե a թիվը Pn(x) բազմանդամի արմատն է, այսինքն՝ Pn(a)=0, ապա, ըստ Բեզուի թեորեմի, մնացորդը՝ R=0, ինչը նշանակում է, որ Pn(x)-ն անմնացորդ բաժանվում է  x−a-ի վրա: