БИНОМ НЬЮТОНА. Треугольник Паскаля. Алгоритм построения + задания

БИНОМ НЬЮТОНА

Задача 1.86. Треугольник Паскаля строится по алгоритму:

а) расположите цифры «1» так, чтобы в нулевой строке стояла одна единица, по краям каждой из строк, начиная со следующей, стояли единицы и образовывали боковые стороны равностороннего треугольника, т.е. на k-й строке должно быть число;

б) любое «внутреннее» число каждой строки получается при сложении двух стоящих над ним чисел предыдущей строки.

Постройте шесть строк треугольника Паскаля.

Свойства треугольника Паскаля

1. Равноотстоящие от концов каждой строки числа треугольника Паскаля равны между собой
, т.е. треугольник симметричен относительно центральной вертикальной линии.

2. Для частных случаев n и k, принимающих значения и :

; ;

3. Любое число можно получить сложением двух чисел, стоящих над ним на предыдущей строке:

4. Для любой строки треугольника Паскаля справедливо равенство: сумма элементов n-й строки равна :

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, возведите двучлен (бином) в соответствующую степень при , , , . Сравните коэффициенты разложения бинома в многочлен с числами соответствующей строки треугольника Паскаля.

Формула Ньютона для n-й степени бинома имеет вид:

поэтому числа еще называют биномиальными коэффициентами; их можно найти или по формуле сочетаний, или на соответствующей строке треугольника Паскаля.

Пример 1.32. Задан бином . Найдите:

1. девятый член разложения;

2. средний член разложения бинома.

Решение. В табл. 1.10 представлены необходимые действия.

Таблица 1.10

Задача 1.87. Для многочлена найдите:

1. коэффициент при ;

2. коэффициент при x;

3. коэффициент при ;

4. сводный член ;

5. коэффициент при ;

6. коэффициент при ;

7. коэффициент при ;

8. седьмой член разложения бинома ;

9. сумму биноминальных коэффициентов;

10. пятый член разложения бинома.

2. Задача 1.88. Приведена строка треугольника Паскаля. Выпишите две последующие строки и проверьте с помощью формулы сочетаний полученные элементы:

   1

   6

   15

   20

   15

   6

   1

3. Задача 1.89. Определите, чему равен наибольший коэффициент разложения при:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 2

1. Задача 1.89. Определите, чему равен второй наибольший член разложения , если сумма всех коэффициентов разложения равна 4096?