Буклет "Задачи на делимость и методы их решения"

оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3. МБОУ «Дульдургинская средняя общеобразовательная школа» МОУ "Дульдургинская средняя общеобразовательная школа" ДСОШ Задачи на делимость и методы их решения Метод исключение целой части числа Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy. Решение: x+y=xy, x-xy = -y; x(1-y) = -y, x = -y/(1-y) x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1)) (1/(y-1)) є Z, если y-1=±1 y-1=1, y=2 y-1=-1, y=0 Если y=0, то x=0/(1-0)=0 Если y=2, то х=-2/(1-2)=2 Ответ: (0;0) и (2;2). Четность и нечетность чисел. Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах. Решение: Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа. 1974=y2-x2 , 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет . Ермолаева Наталья ученица 9 класса Применение теоремы Безу. Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n. Решение: Запишем наше выражение в таком виде: 35n - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n-5n делится на разность оснований степеней, то есть на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -5n также делится на разность оснований 11-5=6 Бином Ньютона . Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n. Решение: 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11. Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения). Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14. Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений. 2016 год " width="640"

Метод разложение на множители (или слагаемые)

Равноостаточные классы.

Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.

Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.

Решение: Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, так как каждое слагаемое делится на 3.

Решение: представим наш многочлен в виде суммы двух слагаемых:

n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, = оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.

МБОУ «Дульдургинская средняя

общеобразовательная школа»

МОУ "Дульдургинская средняя

общеобразовательная школа"

ДСОШ

Задачи на делимость и

методы их решения

Метод исключение целой части числа

Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.

Решение: x+y=xy, x-xy = -y; x(1-y) = -y,

x = -y/(1-y)

x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))

(1/(y-1)) є Z, если y-1=±1

y-1=1, y=2 y-1=-1, y=0

Если y=0, то x=0/(1-0)=0 Если y=2, то

х=-2/(1-2)=2 Ответ: (0;0) и (2;2).

Четность и нечетность чисел.

Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.

Решение: Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.

1974=y2-x2 , 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет .

Ермолаева Наталья

ученица 9 класса

Применение теоремы Безу.

Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.

Решение: Запишем наше выражение в таком виде: 35n - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n-5n делится на разность оснований степеней, то есть на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -5n также делится на разность оснований 11-5=6

Бином Ньютона .

Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.

Решение: 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n.

Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.

Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения).

Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14.

Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений.

2016 год

Признаки делимости

Признаки делимости

Признаки делимости

Признаки делимости, основанные на последних цифрах числа

Признаки делимости, основанные на сумме цифр числа

Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы .

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Признак делимости на 9.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 2.

Число делится на два тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть, это число оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 5, либо 0.

Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.

Так как 8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4.

Признак делимости на 10.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 7.

Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих начётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Признак делимости на 13.

Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.

Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.

Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа

Признак делимости на 6

На 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Признак делимости на 12.

Для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15.

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Признак Паскаля:

Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в»