"Числа и алгебраические выражения. Комплексные числа" ПРЕЗЕНТАЦИЯ

Автор:

преподаватель математики

ГБПОУ КК СТТТ

Иванкова Надежда Петровна

Автор:

Преподаватель ГБПОУ КК СТТТ

ИВАНКОВА НАДЕЖДА ПЕТРОВНА

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

R

Q

ZZ

Z

N

  yKXg@DQ4Mr?P

Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом.

2 + 5 · (16 - 4)

240 : 12 – 35

47 – 15 · 2

Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом.   

b · (3a + 6)

7x – 4y

Действия с рациональными числами

Сложение дробей: 

Вычитание дробей: 

Умножение дробей: 

Деление дробей: 

Перестановка членов пропорции:  , ,  

Основное свойство дроби: 

Решить самостоятельно:

• 5. 3,7 + 12,13 =
• 6. 7,2 · 0,3 =
• 7. 123,4 : 10 =
• 8. 2,8 + 23,5 · 10 =
• 9. 65,4 · (15,6 – 5,1)=
• 10. 3,5 · =

• 1.

• 2.

• 3.

• 4.

Положительные и отрицательные числа

• Положительные 1; 3,1;
• Отрицательные -3; -1,5

3,1

1

-1,5

-3

0

Решить самостоятельно:

• 1) 10 – 12
• 2) - 5 · 1,6
• 3) - 8 :
• 4) - 4 - 19
• 5. - 3,7 · (- 2)

= - 2

= - 8

= - 28

= - 23

= 7,4

Задача:

Картофеля нетто – 28кг 860г, брутто - 31кг

Решение: 28,86 – 31 = - 2,14

О чем говорит минус?

Разница брутто и нетто. 2кг 140г – очистки картофеля.

Задача:

После переоценки свитер стоит 650 рублей. До уценки он стоил 1000 рублей? Найдите разницу стоимости? Что она значит?

Решение: 650 – 1000 = -350 (рублей).

Вывод: свитер уценили на 350 рублей.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ

Квадрат суммы а 2 + b 2 = а 2 + 2аb + b 2

Квадрат разности а 2 - b 2 = а 2 - 2аb + b 2

Разность квадратов (а - b) 2 = (а - b) (а + b)

Куб суммы (a + b) 3  = a 3  + 3a 2 b + 3ab 2  + b 3

Куб разности (a - b) 3  = a 3  - 3a 2 b + 3ab 2  - b 3

Сумму кубов а 3 + b 3 = (а + b) (а 2 - аb + b 2 )

Разность кубов а 3 - b 3 = (а - b) (а 2 + аb + b 2 )

Решить самостоятельно:

Раскройте скобки: 

• (x + 3у) 2
• (4а -1) 2
• (а + 3) (а 2  - 3а + 9)
• (4x - 3y 2 ) (4x + 3у 2 )
• (х - 2) (х 2  + 2х + 4)

Решить самостоятельно:

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Вычислить:

а) (50+1) 2

б) 49 2

Решение:

а) Используем формулу квадрата суммы

(50+1) 2  = 50 2  + 2 · 50 · 1 + 1 2  = 2500 + 100 + 1 = 2601

б) Используя формулу квадрата разности

49 2  = (50 – 1) 2  = 50 2  - 2 · 50 · 1 + 1 2  = 2500 – 100 +1= 2401

Модуль числа

Модулем неотрицательного   действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного   действительного числа   х

  называют противоположное число : |а| = - а

Можно записать:

Модулем числа   а   называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки   А(а) .

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

0 |а| = | - а| |а + b|   ?   |а| + |b| |а · q| = q · |а| , где q - положительное число |а| 2   = а 2 Значение |a - b|   равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b. " width="640"

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительногочисла и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

|0| = 0

Свойства модулей:

|а| ? 0

|а · b| = |а| · |b|

|а| n   = а n   , n є Z, a ? 0, n 0

|а| = | - а|

|а + b|   ?   |а| + |b|

|а · q| = q · |а| , где q - положительное число

|а| 2   = а 2

Значение |a - b|   равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

Решение задач:

| - 11,5 |   -   | 7,9 |     =   

  3,6

  | - 3,3 |   +   | - 2,1 |    =

5,4 

| - 2,8 |   -   | - 1,3 |     =   

  1,5 

| 12,8 |   +   | - 13,9 |   =

26,7

, т.к. 

, т.к. 

Упростить вырение   , если a

Решение.

Так как по условию а

Вычислить:

Решение:

Используя формулу разности квадратов

Вычислить:

25 3 = (20 + 5) 3

Решение :

25 3 = (20 + 5) 3  = 20 3  + 3*20 2 * 5 + 3*20*5 2  + 5 3

= 8000 + 6000 + 1500 + 125 = 156,25

Вычислить:

58 3 = (60 - 2) 3

• Выполнить действия: 

Выбрать один правильный ответ

• 9

c)

d)

• Выполнить действия:  

Выбрать один правильный ответ

c)

d)

• Выполнить действия:  

Выбрать один правильный ответ

c)

d)

• Выполнить действия :  |-6| + |19| - |-12|

Выбрать один правильный ответ

• 13
• 25

c) 1

• 37

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа  , являются расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = a + bi , где  a и b вещественные числа , i  — мнимая единица , для которой выполняется равенство   i 2 = -1.

Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других.

• Сравнение

означает, что a=c   и b=d  (два комплексных числа равны между собой тогда и

только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение:

.

• Вычитание:

.

• Умножение:

.

• Деление:

В частности,

.

Действия над комплексными числами

Решение задач:

Дано: z 1 = 3 + 4i и z 2 = 7 + 12i

Найти: а) z 1 + z 2

Решение: z 1 + z 2 =(3 + 4i) + (7 + 12i) =(3+7)+(4i +12i)= 10 + 16i

Найти: б) z 1 - z 2

Решение : z 1 - z 2 =(3 + 4i) - (7 + 12i)= (3 – 7 )+ (4i - 12i)= -4 - 19i

Найти: в) z 1 * z 2

Решение: z 1 * z 2 =(3+4i) · (7+12i)=21 +36i +28i+48i 2 =21+ 64i +48i 2 = 21+ 64i + 48 · (-1)=21+ 64i - 48= -27 + 64i

Найти: г) z 1 : z 2

Решение:

Решить самостоятельно:

Дано : z 1 = 6 - i и z 2 = 3 + 2i

Найти: а) z 1 + z 2

Решение: z 1 + z 2 =(6 - i ) + (4 + 2i) = 9 + i

Найти: б ) z 1 - z 2

Решение: z 1 - z 2 =(6 - i) - (3 + 2i)= 3 - 3i

Найти: в ) z 1 * z 2

Решение: z 1 * z 2 =(6 - i) · (3 + 2i)= 20 + 9i

Найти: г) z 1 : z 2

Решение: