Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всевозможных пар, первые компоненты которого принадлежат множеству А, а вторые – множеству В. Обозначают это так: С=А х В.

Пример:

Пусть А={1,2,3,4}, В={а,с}.

Тогда А х В={a, a, a, a, c, c, c, c}.

В х А ={, , , , , , , }

Если А = В, то А  В =А² и называется декартовым квадратом.

Пример:

R – множество действительных чисел, тогда RR = R² – векторы (а, в), где аR и вR, есть координаты точек плоскости.

Такое координатное представление точек плоскости было предложено Декартом и являлось первым в истории примером прямого произведения множеств.

Изображение декартово-произведения множеств

Любое декартово произведение множеств можно изобразить в декартовой системе координат. Строятся оси координат и на оси Ox отмечаются элементы первого множества А, а на оси Оу - элементы второго множества В. Далее изображение зависит от конечности и бесконечности множества:

1. Если оба множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, поэтому можно перечислить все элементы их декартова произведения. А также можно изобразить эти элементы в виде точек на координатной плоскости Полученная фигура из определенного числа точек и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В

1. Если одно из множеств бесконечное (или оба множества бесконечные), то есть перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно. В этом случае в системе координат будут изображаться либо отрезки, либо прямые, либо заштрихованные фигуры в виде прямоугольников.

Домашнее задание:

1. Даны множества

Найти для них , , , , , ,

1. Определить булеан множества Х={x,y,z} и его мощность

2. Изобразить декартово произведение множеств А={-2, 1} и В=[1, 3], где В – это промежуток, в котором бесконечно много чисел