Делимость многочленов - методичка для учащихся

`

1 часть Деление многочленов «столбиком»

Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:

1.Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

2 часть. Схема Горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена на двучлен

Pn(x)=∑i=0naixn−i=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an−1x+an

на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:

1 шаг. Под первым коэффициентом делимого а₀ пишется ещё раз этот коэффициент.
2 шаг. Под коэффициентом а₁ пишется число b₁=a₀а+a₁.

3 шаг. Под коэффициентом а₂ пишется число b₂= b₁а+а₂.

4 шаг. Под коэффициентом а₃ пишется число b₃= b₂а+а₃; b₃=R – остаток.

Образец решения:

Разделить 5x⁴+5x³+x²−11 на x−1, используя схему Горнера.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x⁴+5x³+x²−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11.

Можно записывать решение покороче:

5x⁴+5x³+x²−11 делим на х – 1

1*5 + 5 = 10

1*10 + 1 = 11

1* 11 + 0 = 11

1* 11 + (-11) = 0

Записать ответ:

5x⁴+5x³+x²−11 = (5x³+10x²+11x+11) (х – 1)

Задания для самостоятельного решения по схеме Горнера

1. При каких целых значения n выражение   является натуральным числом?

Ответ: -9; -3; 5.

2. При каких целых значениях n дробь   есть целое число?

Ответ: -6: -2; 0; 4.

13. Найти все целые а, при которых дробь   принимала бы целые значения.

Ответ: -1; 0; 2; 3.

дробь   принимала бы целые значения.

Ответ: -1; 0; 2; 3.

Разделить уголком многочлен

P(x) = 10x²  7х 12 на Q(x) = 5х +4

Выполните деление с остатком: 

 на х - 1;

на х² - х + 1;

3. х ⁴– 3х² + 1 на х – 2;

4. х ⁴ + х + 1 на х³ + 1;

5. х⁵ – 6х³ + 2х² – 4 на

х² – х + 1;

6. х ⁴ + х² + 1 на х + 5;

7. х⁷ – 1 на х³ + х + 1;

8. х⁴ – 64 на х – 3 .

Телефон: (Тел.93-1-84

Разложите на множители с целыми коэффициентами:

а) х ³ -2х ² -5х +6;

б) 2х ³ + 5х ² + 5х -2;

в) х ³ - 3х ² + х + 1;

г) х ³ - 2х - 1;

д) х ⁴ + 4х ³ – 25х ² –16х +8.

Найдите частное:

1. (x² +3х  4):(х + 4)

2. (x²  7х + 10):(х  5)

3. (6x³ +7х²  6х + 1):(3х  1)

4. (4x³  5х² + 6х + 9):(4х + 3)

5. (15x³  х² + 8х  4):(3х² + х + 2)

6. (9х⁴ 9x³  х² + 3х  2):(3х²  2х + 1)

Ответы:

1. х  1

2. х  2

3. 2х² + 3х  1

4. х²  2х + 3

5. 5х  2

6. 3х²  х  2

Золотая пропорция в строении бронхов и легких человека

• Было установлено, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

• Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их симметричности.

• Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

• Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Сердце

• Сердце бьется непрерывно и равномерно - от рождения человека до его смерти - около 60 ударов в минуту в состоянии покоя.

• В артериях во время сжатия желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм.

• Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Черты лица человека

и золотое сечение

• В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения.

• К примеру, если мы суммируем  ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения.