Делимость многочленов

Департамент образования мэрии города Новосибирска

Дворец творчества детей и учащейся молодёжи «Юниор»

Городской конкурс исследовательских проектов

учащихся 5-8 классов

Направление: естественно-научный проект

Деление многочленов: свойства,

способы и области применения

Автор: Сивова Маргарита,

МБОУ «Гимназия №13 имени Э.А.Быкова»

8 класс ,Центральный округ г.Новосибирска

Консультант проекта: Давыдова Татьяна Николаевна,

учитель математики

Контактный телефон руководителя:

8-923-705-52-97

г. Новосибирск, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение. Актуальность.…………………………………………………………3

2. Многочлен. Основные понятия………………………………………………….4

3. Немного истории…………………………………………………………………5

а) Об Этьене Безу……………………………………………………………………………5

б) Теорема Безу………………………………………………………………………………6

в) О Горнере Уильям Джордже ……………………………………………………………………………6

4. Условия делимости………………………………………………………………..7

5. Свойства делимости………………………………………………………………9

6. Деление «столбиком»…………………………………………………………….9

7.Схема Горнера……………………………………………………………………11

8. Применение теории делимости…………………………………………………14

А)Нахождение остатка от деления многочлена на двучлен……………………14

Б)Нахождение значения функции в точке………………………………………..15

В)Разложение многочлена на множители……………………………………….15

Г)Сокращение алгебраических дробей……………………………………………15

Д)Решение уравнений………………………………………………………………16

9. Сравнительная таблица…………………………………………………………19

10.Заключение……………………………………………………………………...25

Список литературы………………………………………………………………...26

Приложение: сборник задач

1. Введение. Актуальность

Математика помогает человеку в решении задач жизнедеятельности и производства. Любая данная ситуация рассматривается нами как математическая модель. Математической моделью может быть уравнение, алгебраическое выражение, график и прочее. Для упрощения данных математическая модель должна быть представлена в виде произведения и/или сокращена. В алгебре курса основной школы известны различные способы разложения алгебраического выражения на множители, это: вынесение общего множителя за скобки, разложение с помощью формул сокращенного умножения, способ группировки. Известен прием такого преобразования, как деление многочленов, данный прием не рассматривается в курсе алгебры основной школы, но знание этого приема расширяет спектр возможностей для решения задач.

Следует знать, что для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике важно умение делить многочлены, это может существенно упростить решение той или иной задачи, но данное умение в школьной программе недостаточно отрабатывается. Поэтому изучение теории делимости многочленов уже в текущих классах может помочь мне при решении алгебраических задач.

Проблема: в школьной программе отсутствует теория деления многочленов, однако это знание может помочь при решении алгебраических уравнений.

Способы решения проблемы: получение информации из различных источников (интернет, математические справочники и учебники, научные работы); создание собственного буклета-справочника на выбранную тему.

Цель: изучение способов и свойств деления многочленов.

Методы: анализ научной литературы.

Продукт: математический буклет-справочник на основе полученных знаний.

Ресурсы: полученная информация, бумага, деньги.

Задачи проекта:

1.Изучить основные понятия, теоремы и алгоритмы теории делимости(20.02.20);

2.Показать использование теории делимости многочленов в решении алгебраических задач (01.03.20);

3.Подобрать задачи для самостоятельного решения для учащихся 7-8 классов на применение теории делимости многочленов (10.03.20);
4. Сделать сравнительную таблицу на основе полученных знаний (15.01.20)

5. Создать буклет-справочник для ежедневного применения(20.03.20 – 20.04.20).

Планируемый результат:

• Справочник-буклет должен быть небольшим;

• Его оформление, как внутреннее, так и внешнее, должно быть приятно глазу;

• Каждая тема в справочнике должна быть систематизирована и показана на конкретных примерах.

1. Многочлен, общие понятия

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена 2a²b;  −3d³;  a; . 8x² − 3a + 41; 7aуу– 7ay²+5aуу+a;5x³y – 7a³b⁴ .

Данный многочлен можно привести к стандартному виду. Говорят, что многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных: 17aуу– 7ay²+5aуу+a =17ay² – 7ay²+5ay²+а=15ay²+а

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно. Так х+у – это двучлен(бином), а 2x³q−qx²+7b – трехчлен(трином), многочлен (полином)

В своей работе я буду использовать многочлены стандартного вида первой степени, второй, третьей и четвёртой. (Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов).

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b, где a и b– некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x²+b·x+c, где a, b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 и 2x-5, а вот примеры квадратных трехчленов: x²+3x−5 и 3х²–2x–5.

1. Немного истории

В XIX - начале XX века метод Горнера занимал значительное место в английских и американских учебниках по алгебре. Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен (х - а). До этого предшественник Горнера Этьен Безу доказал теорему о том, что остаток от деления Р(х) на двучлен

(х-а) равен Р(а). Горнер умер 22 сентября 1837 года. После смерти Горнера сын, которого тоже звали Уильям, продолжил управление школой в Бате.

Схема Горнера – способ деления многочлена Р(х) на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a.

А) Об Этьене Безу

Э тье́н Безу́, французский математик, член Французской академии наук.

Дата рождения: 31 марта 1730 г

Место рождения: страна Франция, Немур.

Дата смерти:27 сентября 1783.

Научная сфера: теория чисел.

Б) Теорема Безу

Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство: Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть - остаток. Это равенство верно при любых значениях .

Положим, что :

Что и требовалось доказать.

Важнейшим следствием теоремы Безу является то, что корни целочисленного многочлена являются делителями его свободного члена.

в) О Горнере Уильям Джордже

Г орнер Уильям Джордж (1786 - 1837) ­—­ английский математик. Родился  в городе Бристоль в Англии. Получил образование в Кингствудской школе Бристоля. В возрасте 14 лет он стал помощником директора в Кингствудской школе и директором 4 года спустя. Он уехал из Бристоля и основал свою собственную школу в 1809 году в Бате.

Основные труды относятся к решению алгебраических уравнений. В 1819 году опубликовал способ приближённого вычисления действительных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини - Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII веке). Работа была напечатана в философских работах Королевского научного сообщества.

1. Условия делимости

Для того, чтобы поделить один многочлен на другой, сначала надо понять, возможно ли это деление. Поделить многочлены нельзя:

1. Если показатель степени в высшем члене делимого меньше, чем в высшем члене делителя, так как при этом условии невозможно получить высший член частного.

2. Если показатель степени в низшем члене делителя меньше, чем в низшем члене делимого, так как при этом условии нельзя получить низший член частного.

3. Если многочлены удовлетворяют двум предыдущим условиям, то это еще не значит, что деление возможно. В этом случае надо приступить к делению и продолжать до тех пор, пока не убедимся в возможности или невозможности получить частное в виде многочлена.

При этом надо различать 2 случая:

1. Когда многочлены расположены по убывающим степеням главной буквы, то мы продолжаем деление пока в остатке не получим ноль (тогда деление возможно и завершено), или пока не дойдем до такого остатка, первый член которого имеет главную букву с меньшим показателем, чем высший член делителя (тогда деление невозможно).

Например, рассмотрим деление многочленов.

Пример1.

Выполним деление многочлена  на многочлен 

 |

________ ____



______________ __

_________ _



Деление невозможно, так как первый член остатка не делится на первый член делителя.

1. Когда многочлены разложены по возрастающим степеням. «Сколько мы бы ни продолжали деление, никогда не получим остатка, у которого показатель 1-го члена был бы меньше показателя 1-го члена делителя, потому что при таком расположение показатели главной буквы в первых членах остатков будут увеличиваться.»

Например, рассмотрим деление многочленов.

Пример 2

 |













Продолжая действие дальше, мы бы получили  в частном, но если бы возможно было бы получить целое частное (без остатка), то последний член должен был бы быть  ( от деления высшего члена делимого на высший член делителя); значит, деление невозможно.

1. Свойства делимости многочленов

Говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если существует многочлен S(x), такой, что P(x) = Q(x)^.S(x). Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x).

Теория делимости многочленов имеет следующие свойства:

1 ) Если P₁(x) и P₂(x) делятся на Q(x); то P₁(x) + P₂(x) и P₁(x)^_P₂(x)делятся на Q(x);

2) Если P(x) делится на Q(x); а T(x) – произвольный многочлен; то P(x)^.T(x) делится на Q(x);

3) Если P(x) делится на Q(x), а Q(x) делится на H(x), то P(x) делится на H(x).

4) Если ненулевой многочлен P(x) делится на Q(x), то deg P(x) ≥ deg Q(x),где deg(Р(x) и Q(x)-степени этих многочленов.

5) Еесли deg P(x) = deg Q(x); то P(x) делится на Q(x) тогда и только тогда, когда эти многочлены пропорциональны (многочлены называются пропорциональными, если один из них получается из другого умножением на число, отличное от 0).

6. Деление многочленов «столбиком»

В алгебре, деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

а) Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

б). Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

в) Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой

.

г). Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

д). Повторяем шаг 4.

Итак, чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:

1. Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

7. Схема Горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена

Pn(x)=∑i=0na_ixⁿ⁻ⁱ=a ₀xⁿ+a ₁x ⁿ⁻¹+a ₂x ^n-2+…+a ^n-1x+a_n

на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:

После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Разделить 5x⁴+5x³+x²−11 на x−1, используя схему Горнера.

Решение

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x⁴+5x³+x²−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:

Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x⁴+5x³+x²−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x⁴+5x³+x²−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x³+10x²+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x⁴+5x³+x²−11 на x−1. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так:

значение многочлена 5x⁴+5x³+x²−11 при x=1 равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x⁴+5x³+x²−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x⁴+5x³+x²−11.

Можно записывать решение покороче:

5x⁴+5x³+x²−11 делим на х – 1

1*5 + 5 = 10

1*10 + 1 = 11

1* 11 + 0 = 11

1* 11 + (-11) = 0

Записать ответ: 5x⁴+5x³+x²−11 = (5x³+10x²+11x+11) (х – 1) + 0

8. Задачи на применение теории делимости

а) Нахождение остатка от деления

1)Найти остаток от деления многочлена   на двучлен  .

Решение: Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке  . Тогда    подставляем в выражение для многочлена   вместо  . Получаем:   .

Ответ: остаток равен 5.

2) Определить делится ли многочлен на двучлен.

б)Нахождение значения функции в точке

Найти значение f (x) = x ³ − 3x ² + 7x − 5 в точке 3.

Решение: Напомним теорему Безу: Значение многочлена f (x) в точке c равно остатку от деления f (x) на (x − c). Разделим f (x) = x ³ − 3x ² + 7x – 5 на х-3:

Ответ: f (3) = 16

В) Разложение многочлена на множители

Разложите на множители многочлен x³-7x -6.

Решение: данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 6. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±3;±6. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число -1 является корнем этого многочлена. Значит исходный многочлен должен делиться на x-(-1)=х+1,т.к. для того, чтобы многочлен f(х) делился на двучлен х-а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль. Получаем, что x³ – 7x -6 = (x+1)Q(x), где Q(x) − многочлен второй степени: Q(x)= x² – x -6

г)Сокращение дробей

Ответ: 2(x+6)(x-2)

д) Решение уравнений

Решите уравнение.

1) 2x²-3x-5=0; f(x)=2x²-3x-5

f(-1)=2(-1)²-3(-1)-5=0, значит будем f(x) делить на (x+1)

Разделим уголком:

а) 2x²:(x)=2x поставим под уголок

б) 2x(x+1)=2x²+2x подставим под выражением 2x²-3x-5.

в) Вычтем (2x²-3x-5)-(2x²+2x)=-5x-5

г) (-5x):x=-5

д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5

е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.

Процесс деления закончен.

Ответ: -1; 2,5

2)  Найдите корни уравнения   х³ + 4х² + х – 6 = 0.

Решение: Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Один из корней многочлена будет равен 1. Корнем многочлена является 1, а значит исходный многочлен должен делиться на х-1. Строим таблицу для применения схемы Горнера:

Итак, коэффициенты частного – числа 1, 5, 6, а остаток r = 0. Значит,

х³ + 4х² + х – 6 = (х – 1) (х² + 5х + 6) = 0

Отсюда: х – 1 = 0 или х² + 5х + 6 = 0; х = 1, х₁ = – 2;   х₂ = –3.

Ответ: 1, – 2, – 3.

3)Решить уравнение: 4x³ - 19x² + 19x + 6 = 0

Решение: Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

Проверим х=1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

Проверим х= -1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

Проверим х= 2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли один из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x – 2, т.к. для того, чтобы многочлен Р(х) делился на двучлен х-а, необходимо и достаточно, чтобы при х=а он обращался в нуль. Для того чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители:

4x³ - 19x² + 19x + 6 = (x - 2)(4x² - 11x - 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

мы нашли все корни уравнения: x = 2; 3; -0.25

9. Сравнительная таблица на основе полученных знаний

Сравнение традиционных методов решения: вынесения общего множителя за скобки, способа группировки, применения формул сокращенного умножения и нового метода – деления многочленов.

Проведенный анализ выявил ряд преимуществ для решения задач новым методом – методом деления многочленов:

1. Время на разложение на множители алгебраического выражения в среднем уменьшается в среднем на 6 минут

2. Применение данного метода не требует запоминания формул сокращенного умножения

3. Применение данного метода не требует знания алгоритма метода группировки и способа вынесения общего множителя за скобки

Не смотря на ряд преимуществ, выявлены и проблемы применения данного метода:

1. Проверка условий делимости требует дополнительных временных затрат

2. Алгоритм деления многочленов труден к восприятию

3. Применение только метода деления многочленов не способствует к запоминанию традиционных методов решения.

10. Заключение

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижение степени - можно найти все корни многочлена. А если при этом владеть схемой Горнера, то это можно сделать намного быстрее. Следовательно, можно без труда разложить многочлен на множители, а далее решить уравнение или/и сократить алгебраическую дробь.

Итак, теория делимости многочленов предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой.

Данная работа помогает разобраться в сущности теории делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения, понять в каких ещё областях она может применяться. Материалы работы можно использовать на математических кружках, спецкурсах, факультативах, а также при подготовке к итоговой аттестации. Для этого мною создан буклет-справочник, надеюсь, что он будет полезен всем, интересующимся математикой!

ачало

Список литературы

1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. И доп. – М. : Мнемозина, 2010. – 271 с. : ил.

2 . Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. И доп. – М. : Мнемозина, 2009. – 271 с. : ил.

3. М.Я. Выгодский Справочник по элементарной математике: - М., 1972., 416 стр. с илл.

4. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.

5.  sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.

4.  www.ref.by/refs: статья о теореме Безу.

6.  ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.

7. http://math-oqe.sdamqia.ru/

13