Диагностическая работа по математике в форме ЕГЭ профильного уровня.

Вариант 1

1. Си­сте­ма на­ви­га­ции, встро­ен­ная в спин­ку са­мо­лет­но­го крес­ла, ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полет про­хо­дит на вы­со­те 21 910 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту по­ле­та в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

1. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­че­но время в ми­ну­тах ,про­шед­шее с мо­мен­та за­пус­ка дви­га­те­ля, на вер­ти­каль­ной оси — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, до сколь­ких гра­ду­сов Цель­сия дви­га­тель на­грел­ся за пер­вые 3 ми­ну­ты с мо­мен­та за­пус­ка.

1.  Най­ди­те вы­со­ту па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, опу­щен­ную на сто­ро­ну AB, если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

1. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8С, равна 0,88. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8С или выше.

1. Ре­ши­те урав­не­ние .

1. Пло­щадь ромба равна 52. Одна из его диа­го­на­лей равна 4. Най­ди­те дру­гую диа­го­наль.

2. 
   

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  про­из­вод­ной функ­ции  и во­семь точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек функ­ция  убы­ва­ет?

1. Даны два шара. Диа­метр пер­во­го шара в 8 раз боль­ше диа­мет­ра вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

1. Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем . Ско­рость  (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 70 км/ч.

1. Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

1. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку.

2. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:  

1. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN .
   а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
   б) Найдите площадь треугольника KLN , если известно, что KN = 3 , а угол LMN =120 градусов.

1. Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 3 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 25 млн руб­лей.

1. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Вариант 2

1. Си­сте­ма на­ви­га­ции, встро­ен­ная в спин­ку са­мо­лет­но­го крес­ла, ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полет про­хо­дит на вы­со­те 17850 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту по­ле­та в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

1. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель с тре­тьей по вось­мую ми­ну­ту разо­гре­ва.

1.  На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не AB.

1. Даша, Оля, Дима и Денис бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка.

1. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

1. Пло­щадь ромба равна 27. Одна из его диа­го­на­лей равна 6. Най­ди­те дру­гую диа­го­наль.

1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  про­из­вод­ной функ­ции  и де­вять точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек функ­ция  воз­рас­та­ет?

1. Даны два шара. Радиус пер­во­го шара в 3 раза больше радиуса вто­ро­го. Во сколь­ко раз объем пер­во­го шара боль­ше объема вто­ро­го?

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

1. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те  ки­ло­мет­ров над землёй, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  , где  км — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 48 ки­ло­мет­ров? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

1. Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 24 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 5 минут. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

1. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 6. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

1. Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO₁ пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

1. По вкла­ду «А» банк в те­че­ние трёх лет в конце каж­до­го года уве­ли­чи­ва­ет на 20 % сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­ва­ет на 21 % в те­че­ние каж­до­го из пер­вых двух лет. Най­ди­те наи­мень­шее целое число про­цен­тов за тре­тий год по вкла­ду «Б», при ко­то­ром за все три года этот вклад всё ещё оста­нет­ся вы­год­нее вкла­да «А».

1. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Вариант 3

1. Си­сте­ма на­ви­га­ции, встро­ен­ная в спин­ку са­мо­лет­но­го крес­ла, ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полет про­хо­дит на вы­со­те 30870 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту по­ле­та в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

1. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры дви­га­те­ля в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, на сколь­ко гра­ду­сов на­гре­ет­ся дви­га­тель со вто­рой по пятую ми­ну­ту разо­гре­ва.

1.  На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

1.  Вика, Рита, Улья­на и Боря бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет маль­чик.

1. Ре­ши­те урав­не­ние .

1. Пло­щадь ромба равна 18. Одна из его диа­го­на­лей равна 12. Най­ди­те дру­гую диа­го­наль.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  — про­из­вод­ной функ­ции  На оси абс­цисс от­ме­че­но де­вять точек:  Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции 

1. Даны два шара. Диа­метр пер­во­го шара в 7 раз боль­ше диа­мет­ра вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

1. Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем  Ско­рость  (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 90 км/ч.

1. Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 12 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 8 минут. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

1. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции на про­ме­жут­ке 

1. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство:  

1. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN .
   а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
   б) Найдите площадь треугольника KLN , если известно, что KN = 3 , а угол LMN =120 градусов.

1. Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 3 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 25 млн руб­лей.

1. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма  имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Вариант 4

1. Си­сте­ма на­ви­га­ции, встро­ен­ная в спин­ку са­мо­лет­но­го крес­ла, ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полет про­хо­дит на вы­со­те 20370 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту по­ле­та в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

1. На гра­фи­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры в про­цес­се разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­че­но время в ми­ну­тах ,про­шед­шее с мо­мен­та за­пус­ка дви­га­те­ля, на вер­ти­каль­ной оси — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, до сколь­ких гра­ду­сов Цель­сия дви­га­тель на­грел­ся за пер­вые 3 ми­ну­ты с мо­мен­та за­пус­ка.

1. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

1. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше.

1. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

1. Пло­щадь ромба равна 60. Одна из его диа­го­на­лей равна 6. Най­ди­те дру­гую диа­го­наль.

1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  про­из­вод­ной функ­ции  и шесть точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек функ­ция  воз­рас­та­ет?

1. Даны два шара. Радиус пер­во­го шара в 5 раз больше радиуса вто­ро­го. Во сколь­ко раз объем пер­во­го шара боль­ше объема вто­ро­го?

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

1. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те  ки­ло­мет­ров над землёй, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  , где  км — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 32 ки­ло­мет­ра? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

1. Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 16 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 6 минут. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

1. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

2. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 6. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

1. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

1. Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO₁ пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

1. По вкла­ду «А» банк в те­че­ние трёх лет в конце каж­до­го года уве­ли­чи­ва­ет на 20 % сумму, име­ю­щу­ю­ся на вкла­де в на­ча­ле года, а по вкла­ду «Б» — уве­ли­чи­ва­ет на 21 % в те­че­ние каж­до­го из пер­вых двух лет. Най­ди­те наи­мень­шее целое число про­цен­тов за тре­тий год по вкла­ду «Б», при ко­то­ром за все три года этот вклад всё ещё оста­нет­ся вы­год­нее вкла­да «А».

1. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ответы