Диофантовые уравнения и второй степени и способы их решения

Секция математики.

Диофантовы уравнения второй степени и некоторые способы их решения.

МОУ СОШ №31 г. Ростова – на – Дону,

Самсонова Елена, Зулина Диана, Склименок Анастасия (8 класс).

Научный руководитель: Кряквина Лилия Низамитдиновна, учитель математики.

Целью работы является рассмотрение некоторых способов решения диофантовых уравнений второй степени и их классификация.

Диофантовы уравнения появляются при решении многих, как прикладных, так и теоретических задач. Широко их применение в информационных технологиях. История изучения этих уравнений насчитывает несколько тысячелетий. Еще древние греки узнали про прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 от египтян и назвали его египетским. Мы называем прямоугольные треугольники с целыми сторонами пифагоровыми. Но ни египтяне, ни Пифагор не были первыми. Уже в архитектуре древнемесопотамских надгробий (примерно 5000 лет тому назад) встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. А пирамиды фараона Снофру (XXYII в. до н.э.) построены с использованием прямоугольного треугольника со сторонами 20, 21 и 29 десятков египетских локтей и другого прямоугольного треугольника со сторонами 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. Предполагают, что вавилоняне знали общий метод поиска решений уравнения X² + Y² = Z². Греческий математик Диофант (Ш в. н.э.) умел решать в целых числах не только уравнение X² + Y² = Z² , но и другие квадратные уравнения, некоторые системы из двух квадратных уравнений от трех переменных, а также некоторые кубические уравнения от двух переменных. Возрождение интереса к диофантовым уравнениям в период нового времени связана с работами Региомонтана. Огромный вклад в развитие этой теории внесли Ферма, Мерсенн, Эйлер, Лагранж, Лежандр и Гаусс и другие ученые. Основы современного геометрического подхода к уравнениям в целых числах заложил Ньютон, понявший, что сложные замены переменных, используемые Диофантом, зачастую сводятся к проведению секущих и касательных.

Метод секущих применяется для построения групп точек на эллиптических кривых вида Y² = X³ + AX + B. В 20 веке эти группы нашли удивительные приложения в теории помехоустойчивого кодирования и в криптографии. Теория кодирования необходима при передаче данных, в частности, через спутники связи, и в других телекоммуникационных системах. Криптография применяется в банковских системах электронных платежей и всюду, где нужна секретная передача данных (например, через Интернет).

В работе рассматривается решение уравнений X² + Y² = Z² и X² + 2Y² = 3Z² с помощью метода секущих, а также решаются диофантовы уравнения второй степени с двумя переменными различными способами: разложением на множители левой части, с помощью формул сокращенного умножения.

В результате проведенных исследований можно сделать вывод, что диофантовы уравнения второй степени с двумя переменными могут иметь как конечное, так и бесконечное число решений в целых и натуральных числах, а также их не иметь. Кроме того, метод секущих позволяет с помощью нахождения всех точек с рациональными координатами окружности или эллипса найти все целые решения квадратного уравнения второй степени с тремя переменными.

Литература

1. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. - М.: Физматлит, 1961 г.

2. Базылев Д.Ф. Диофантовы уравнения. – Минск: НТЦ «АПИ»,1999 г.

3. Острик В.В., Цфасман М.А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. – М.: МЦНМО, 2001 г.

4. Гельфонд В.О. Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, вып. 8. – М.: Наука, 1983 г.