Дистанционное обучение Математика. Основные формулы и правила комбинаторики.

№п/п

Группа

Дата

Предмет , тема № урока

Задание

Ресурс

1

2

3

4

5

6

19

13/14

19/20

21/22

МАТЕМАТИКА

Основные формулы и правила комбинаторики.

Ресурсы:

https://studopedia.org/1-34065.html

https://www.youtube.com/watch?v=AscXvFV-07g&t=644s

Решение задач комбинаторики.

Задача.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

1.Анализируем поставленную задачу и подбираем подходящую формулу.

Формула количества перестановок (P_n=n!)

2.Подставляем данные нашей задачи в выбранную формулу

________________________________________________

3.Решаем полученное выражение

________________________________________________

4.Записываем ответ: 24 способами.

Пример решения задачи (формула количества перестановок) (P_n=n!)

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок

Ответ: 120 способами

Задача.

Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах,

если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков?

1.Анализируем поставленную задачу и подбираем подходящую формулу.

Формула количества сочетаний C_n^m(P_n)=A _n^m

2.Подставляем данные нашей задачи в выбранную формулу

_______________________________________________

3.Решаем полученное выражение

_______________________________________________

4.Записываем ответ: 252 способами.

Задача.

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин

1.Анализируем поставленную задачу и подбираем подходящую формулу.

Формула количества размещений

_______________________________________________

2.Подставляем данные нашей задачи в выбранную формулу

_______________________________________________

3.Решаем полученное выражение

_______________________________________________

4.Записываем ответ: 55440 варианта.

Два основных правила комбинаторной теории

Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества

 m способами, а объект В можно выбрать n способами, то объект

«А+В» можно выбрать m+n способами.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй

, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть

 m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно

вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик

можно достать m+n способами.

Правило умножения: Пусть объект А выбирается m способами, объект В выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать mn способами.

Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из n способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

если число должно быть двузначным?
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами,

так как число не может начинаться с нуля. так как число не может начинаться

с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать

10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9∗10=90чисел.

• Если в условии задачи звучит “И”, то выбираем правило умножения.

• Если в условии задачи нужно найти “ИЛИ”, то пользуемся правилом сложения.

Задачи с решениями.

1.Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух

юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: 

способами.

Ответ: 123

2. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек.

Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

 способами можно выбрать 1 юношу;
 способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:   способами.

Бином Ньютона.

Бином Ньютона - это формула, представляющая выражение   при положительном целом n в виде многочлена:

 .

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

Числа   называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д.

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Сумма коэффициентов разложения   равна   .

Используя формулу Бинома Ньютона и треугольник Паскаля, можно вычислить сумму двух одночленов в n-ой степени.

Таким образом, возведение в степень двучлена можно заменить суммой одночленов. Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Домашнее задание.

1. Разложить выражение   по формуле бинома Ньютона.

1. Разложить выражение   по формуле бинома Ньютона.

1. Разложить выражение   по формуле бинома Ньютона.

.

1.Посмотреть видео.

2. Переписать в тетрадь и выучить наизусть основные формулы и правила комбинаторики.

2. Самостоятельно решить домашнее задание.