Доказательства свойства биссектрисы угла треугольника
Свойство биссектрисы угла треугольника
B
- Биссектриса (BD) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону (AC) на части (AD и DC), пропорциональные прилежащим сторонам.
- AD/DC=AB/BC
C
А
D
Используется признак подобия треугольников по 2∠
B
Продолжим биссектрису BD и на луче BD отметим точку Е такую, чтобы AE=AD,
тогда ∠AED=∠ADE=∠BDC. Следовательно, треугольники ABE и CBD подобны по двум
углам. А это значит, что DC/AE=BC/AB,
то есть AD/DC=AB/BC
A
C
D
E
Используется признак подобия треугольников по 2∠
Продолжим сторону AB до пересечения в
Точке F с прямой DF||BC. Тогда ∠FDB=∠DBC=∠DBF,
Треугольник BFD-равнобедренный и BF=FD.
По обобщенной теореме Фалеса AB/BF=AC/CD.
Треугольники ABC и AFD подобны по двум углам,
Тогда AB/BC=AF/FD=AB+BF/BF=AB /BF+1=AC/CD+1=
AC+CD/CD=AD/CD. Итак, AD/CD=AB/BC
A
C
B
D
F
Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*h)
Треугольники ABD и DBC имеют общую высоту BH.Тогда отношение их площадей равно отношению AD/DC. Но по свойству биссектрисы эти треугольники имеют равные высоты, проведенные соответственно к сторонам AB и BC. Тогда S ABD /S DBC = AB/BC=AD/DC
B
A
C
H
D
Используется теорема синусов
В треугольнике ABD AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB
и по свойству пропорции AD/AB=sin∠ABD/sin∠ADB.
В треугольнике DBC DC/sin∠DBC=BC/sin∠BDC, тогда
DC/BC=sin∠DBC/sin∠BDC. Но так как BD-биссектриса и углы ADB и BDC смежные, то sin∠ABD=sin∠BDC.
Значитsin∠ABD/sin∠ADB=sin∠DBC/sin∠BDC. Следовательно, AD/AB=DC/BC и по свойству пропорции
AD/DC=AB/BC
B
A
C
D
Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*b*sin∠C)
A
BH-перпендикуляр, проведенный из вершины B к AD. S ABD =1/2*AD*BH и S BCD =1/2*DC*BH. С другой стороны, обозначив ∠CBE=α, получим S ABD =1/2*AB*BD*sin(π-α+α/2)=1/2*AB*BD*sin(π-α/2)=1/2*AB*BD*sin α/2 и SBCD=1/2*BC*BD*sin α/2. Тогда SABD/SBCD=AD/DC и SABD/SBCD=AB/BC. Итак, AD/DC=AB/BC
H
B
C
E
D
Алгебра 11 класс ФГОС
Электронная тетрадь по алгебре 9 класс...
Электронная тетрадь по геометрии 8...
Алгебра 10 класс ФГОС
Наглядная геометрия 5-6 классы ФГОС
Математика 6 класс
Геометрия 8 класс ФГОС
Геометрия 11 класс ФГОС
© 2018, Сальникова Нина Сергеевна 10664 30
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы