СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 29.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Доказательства свойства биссектрисы треугольника

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Доказательства свойства биссектрисы треугольника с помощью различных теорем.

Просмотр содержимого документа
«Доказательства свойства биссектрисы треугольника»

Доказательства свойства биссектрисы угла треугольника

Доказательства свойства биссектрисы угла треугольника

Свойство биссектрисы угла треугольника B Биссектриса (BD) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону (AC) на части (AD и DC), пропорциональные прилежащим сторонам. AD/DC=AB/BC C А D

Свойство биссектрисы угла треугольника

B

  • Биссектриса (BD) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону (AC) на части (AD и DC), пропорциональные прилежащим сторонам.
  • AD/DC=AB/BC

C

А

D

Используется признак подобия треугольников по 2∠ B Продолжим биссектрису BD и на луче BD отметим точку Е такую, чтобы AE=AD, тогда ∠AED=∠ADE=∠BDC. Следовательно, треугольники ABE и CBD подобны по двум углам. А это значит, что DC/AE=BC/AB, то есть AD/DC=AB/BC A C D E

Используется признак подобия треугольников по 2∠

B

Продолжим биссектрису BD и на луче BD отметим точку Е такую, чтобы AE=AD,

тогда ∠AED=∠ADE=∠BDC. Следовательно, треугольники ABE и CBD подобны по двум

углам. А это значит, что DC/AE=BC/AB,

то есть AD/DC=AB/BC

A

C

D

E

                Используется признак подобия треугольников по 2∠ Продолжим сторону AB до пересечения в Точке F с прямой DF||BC. Тогда ∠FDB=∠DBC=∠DBF, Треугольник BFD-равнобедренный и BF=FD. По обобщенной теореме Фалеса AB/BF=AC/CD. Треугольники ABC и AFD подобны по двум углам, Тогда AB/BC=AF/FD=AB+BF/BF=AB /BF+1=AC/CD+1= AC+CD/CD=AD/CD. Итак, AD/CD=AB/BC A C B D F

Используется признак подобия треугольников по 2∠

Продолжим сторону AB до пересечения в

Точке F с прямой DF||BC. Тогда ∠FDB=∠DBC=∠DBF,

Треугольник BFD-равнобедренный и BF=FD.

По обобщенной теореме Фалеса AB/BF=AC/CD.

Треугольники ABC и AFD подобны по двум углам,

Тогда AB/BC=AF/FD=AB+BF/BF=AB /BF+1=AC/CD+1=

AC+CD/CD=AD/CD. Итак, AD/CD=AB/BC

A

C

B

D

F

Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*h) Треугольники ABD и DBC имеют общую высоту BH.Тогда отношение их площадей равно отношению AD/DC. Но по свойству биссектрисы эти треугольники имеют равные высоты, проведенные соответственно к сторонам AB и BC. Тогда S ABD /S DBC = AB/BC=AD/DC B A C H D

Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*h)

Треугольники ABD и DBC имеют общую высоту BH.Тогда отношение их площадей равно отношению AD/DC. Но по свойству биссектрисы эти треугольники имеют равные высоты, проведенные соответственно к сторонам AB и BC. Тогда S ABD /S DBC = AB/BC=AD/DC

B

A

C

H

D

Используется теорема синусов В треугольнике ABD AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB и по свойству пропорции AD/AB=sin∠ABD/sin∠ADB. В треугольнике DBC DC/sin∠DBC=BC/sin∠BDC, тогда DC/BC=sin∠DBC/sin∠BDC. Но так как BD-биссектриса и углы ADB и BDC смежные, то sin∠ABD=sin∠BDC. Значитsin∠ABD/sin∠ADB=sin∠DBC/sin∠BDC. Следовательно, AD/AB=DC/BC и по свойству пропорции AD/DC=AB/BC B A C D

Используется теорема синусов

В треугольнике ABD AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB

и по свойству пропорции AD/AB=sin∠ABD/sin∠ADB.

В треугольнике DBC DC/sin∠DBC=BC/sin∠BDC, тогда

DC/BC=sin∠DBC/sin∠BDC. Но так как BD-биссектриса и углы ADB и BDC смежные, то sin∠ABD=sin∠BDC.

Значитsin∠ABD/sin∠ADB=sin∠DBC/sin∠BDC. Следовательно, AD/AB=DC/BC и по свойству пропорции

AD/DC=AB/BC

B

A

C

D

Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*b*sin∠C) A BH-перпендикуляр, проведенный из вершины B к AD. S ABD =1/2*AD*BH и S BCD =1/2*DC*BH. С другой стороны, обозначив ∠CBE=α, получим S ABD =1/2*AB*BD*sin(π-α+α/2)=1/2*AB*BD*sin(π-α/2)=1/2*AB*BD*sin α/2 и SBCD=1/2*BC*BD*sin α/2. Тогда SABD/SBCD=AD/DC и SABD/SBCD=AB/BC. Итак, AD/DC=AB/BC H B C E D

Используя формулу площади треугольника(S=1/2*a*b*sin∠C)

A

BH-перпендикуляр, проведенный из вершины B к AD. S ABD =1/2*AD*BH и S BCD =1/2*DC*BH. С другой стороны, обозначив ∠CBE=α, получим S ABD =1/2*AB*BD*sin(π-α+α/2)=1/2*AB*BD*sin(π-α/2)=1/2*AB*BD*sin α/2 и SBCD=1/2*BC*BD*sin α/2. Тогда SABD/SBCD=AD/DC и SABD/SBCD=AB/BC. Итак, AD/DC=AB/BC

H

B

C

E

D


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

15.10.2019 16:40
Лященко Людмила Егоровна @lydmila61
Большое спасибо Нина Сергеевна, за интересную презентацию!

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Закрыть через 5 секунд
Комплекты для работы учителя