Доклад на тему "Интеграл"

Презентация на тему: «Интеграл»

Интеграл

• Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью 

криволинейной трапеции

История открытия

• Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса , который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на части, для которых площадь или объём уже известны.

История открытия

• И лишь в  XVI веке . В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Виды интегралов

Определенный Интеграл

• Определённый интеграл  численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми  и  графиком функции .

Неопределенный интеграл

• Неопределённый интеграл  для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции.

Интеграл Римана

• Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенные между графиком и осью абсцисс)

Интеграл Римана

• рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников. И дальнейшее решение с помощью интегральных сумм

Интеграл Лебега

• Это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Т.е. На интервалы разбивают область значений функции, а затем суммируют прообразы интервалов.

Основные свойства интегралов

• Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Основные свойства интегралов

• Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

А

С

В

Основные свойства интегралов

Площадь между двумя кривыми 

Практическое применение интегралов

• Нахождение площади фигуры
• Перемещение
• Дифференциальные уравнения
• В физике
• Экономике