Доклад «Система работы учителя математики по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике »

Тригонометрические уравнения, разложение на множители

1. Задание 13 № 507886

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) Отберем корни на промежутке с помощью тригонометрической окружности. Получаем и

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507886

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы приведения

2. Задание 13 № 500111

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

500111

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

3. Задание 13 № 509201

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используем формулу синуса двойного угла, выносим за скобки:

 

 

б) Изображая корни на единичной окружности, находим, что отрезку принадлежат корни и

 

Ответ:а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

509201

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

4. Задание 13 № 507638

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

1 случай. Если то

2 случай. Если то При решений нет. Разделим обе части уравнения на Получаем

Тогда

б) Отрезку принадлежат корни и

 

Ответ: а) б) и

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507638

а) б) и

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

5. Задание 13 № 485932

Дано уравнение

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Используем формулу приведения и синуса двойного угла:

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке Находим:

Ответ: а) б)

 

Примечание.

Уравнение может быть так же решено при помощи следующей теоремы:

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

485932

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

6. Задание 13 № 500961

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

500961

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения

7. Задание 13 № 526590

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

 

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

526590

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения

8. Задание 13 № 500346

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Примечание.

Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

500346

а) б)

Примечание.

Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения

9. Задание 13 № 501507

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) В силу нечетности и периодичности синуса имеем:

 

Далее имеем:

 

б) При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

Находим три решения:

 

 

 

 

Ответ:

а)

б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

501507

а)

б)

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2013

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения

10. Задание 13 № 513071

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Имеем:

б) На указанном промежутке лежат точки

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

513071

а) б)

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

11. Задание 13 № 500815

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Так как и , имеем:

Корни уравнения:

б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и

 

Ответ:а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

500815

а) б)

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

12. Задание 13 № 520495

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение : Получаем или откуда или где

б) На отрезке корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем и

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

520495

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения

13. Задание 13 № 517262

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используя формулы приведения, получим уравнение, квадратное относительно косинуса:

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.).

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517262

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике — 2017. Досрочная волна, резервный день, вариант А. Ларина (часть С).

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

14. Задание 13 № 509888

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Решим уравнение:

 

 

б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Получим точку .

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

509888

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка

15. Задание 13 № 485977

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Разложим левую часть на множители:

 

 

Уравнение не имеет корней. Имеем

Если то это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на Получаем:

 

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.)

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

16. Задание 13 № 501486

а) Решите уравнение:

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

501486

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

17. Задание 13 № 520973

а) Решите уравнение

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа: .

 

Ответ: а) б) .

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

520973

а) б) .

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна, резервный день 25.06.2018. Вариант 501 (C часть)., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2018

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка

18. Задание 13 № 517829

а) Решите уравнение

 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Имеем:

 

б) При помощи числовой оси отберем корни, принадлежащие отрезку получим число

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

517829

а) б)

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка

19. Задание 13 № 485973

а) Решите уравнение

 

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке Получим числа:

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

485973

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла

20. Задание 13 № 505308

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) Ограничим каждое полученное решение из пункта «а» и решим эти неравенства:

1)

 

2)

3)

Ответ: а) , б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505308

а) , б)

Раздел: Алгебра

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Группировка, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы двойного угла

21. Задание 13 № 507583

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:

 

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

 

Получим:

 

Ответ: а) б)

 

Приведём другое решение пункта а.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507583

а) б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

22. Задание 13 № 520783

а) Решите уравнение: .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Выполним преобразования:

 

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа: .

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

520783

а) б)

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2018

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов

23. Задание 13 № 520802

а) Решите уравнение:

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

Решение.

а) Выполним преобразования:

 

 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие

отрезку Получим числа:   и  

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

520802

а) б)

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., Задания 13 (С1) ЕГЭ 2018

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов

Методы алгебры: Формулы двойного угла

24. Задание 13 № 520831

а) Решите уравнение:

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

 

Ответ: а) б) .

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

520831

а) б) .

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы двойного угла

25. Задание 13 № 525068

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде

 

Значит, или откуда или где

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

 

Ответ: а) где б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

525068

а) где б)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

26. Задание 13 № 548814

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие указанному промежутку. Подходят корни

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

548814

а) б)

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервный день. Вариант 2, Задания 13 ЕГЭ–2020

27. Задание 13 № 549973

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Решим уравнение:

б) Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Заданному условию удовлетворяют корни и

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

549973

а) б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 322 (часть C).

28. Задание 13 № 555715

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Таким образом, следовательно,

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим корни (см. рис.):

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

555715

а) б)

29. Задание 13 № 555967

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

Получаем, что или Из второго уравнения находим Следовательно, или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим корни (см. рис.):

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

555967

а) б)

30. Задание 13 № 556336

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Используя формулу приведения уравнение можно записать в виде

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим корни (см. рис.):

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

556336

а) б)

31. Задание 13 № 559407

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Таким образом, следовательно,

б) Корни, принадлежащие промежутку отберём с помощью

единичной окружности. Получаем:

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

559407

а) б)

32. Задание 13 № 560137

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Следовательно, или а значит, или

б) Корни, принадлежащие промежутку отберём с помощью

единичной окружности. Получаем:

 

Ответ: а) б)

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

560137

а) б)

33. Задание 13 № 561175

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку