Доклад учащихся по теме "Специальные приёмы косвенного измерения расстояний"

5) провести луч АС до пересечения со стороной В'N угла ВВ'N в точке А' (получили треуг.АВС основной, где сторона АВ является искомой, и треуг.А'В'С вспомогательный);

6) доказать, что треугольники подобны

7) сделать вывод о том, что А'В' = 1/n АВ;

8) сделать вывод о числовом значении искомого расстояния (АВ=n 'А'В'} и найти его, измерив А'В'

9) записать ответ.

Рассмотренные выше приемы позволяют получить обобщенный прием решения задачи на измерение расстояния до недоступной точки

В составе этого приема будет иметь место следующая сис­тема действий:

1) мысленно соединить недоступную и доступную точки;

2) построить произвольный (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный) треугольник, одна из сторон которого — искомое расстояние (основной треугольник);

3) построить вспомогательный треугольник, равный или подоб­ный данному, для этого:

а) продолжить две другие стороны основного треугольника за точку их пересечения;

б) от точки их пересечения на продолжении стороны, содержа­щей доступную точку, отложить отрезок, находящийся в данном

отношении1/n (п — натуральное число) с соответствующей сто­роной основного треугольника (исходя из практических сообра­жений 01/n

в) с вершиной в конце этого отрезка построить в другой полу­плоскости угол, равный углу основного треугольника при вер­шине в доступной точке;

г) указать точку - пересечения — вершину вспомогательного треугольника, соответствующую недоступной вершине основного треугольника;

4) доказать соответственно равенство или подобие получен­ных треугольников;

5) записать формулу, выражающую зависимость искомого расстояния (т. е. искомой стороны основного треугольника) от соответствующей стороны вспомогательного треугольника;

6) найти числовое значение искомого расстояния, измерив соответствующую сторону вспомогательного треугольника;

7) записать ответ.

Измерение расстояния между недоступными точками

Пусть А и В — недоступные точки; АВ — недоступное рас­стояние, которое требуется найти.

Для решения данной задачи воспользуемся подобием треуголь­ников. При этом рассмотрим два способа ее решения.

Прием, реализующий первый способ, состоит из следующей системы действий

1) мысленно соединить недоступные точки А и В;

2) провести два взаимно перпендикулярных луча с началом в недоступных точках Аи В, пересекающиеся в доступной точке С;

3) на луче с началом в недоступной точке В выбрать про­извольную точку Д и, соединив недоступную точку А с доступной точкой Д, измерить угол АДС

4) с вершиной в точке Д построить угол СDF, равный уг

5) доказать, что треуг.АDС=треуг.FDС, и сделать вывод о том, что АС = СF;

6) соединить недоступную точку В и доступную точку F и доказать, что АВС = FВС;

7) сделать вывод о том, что искомое расстояние АВ = ВF;

8) провести СЕперпендикулярноВF, т. е. высоту прямоугольного FСВ, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу;

9) доказать, что СВF подобен ЕСF;

10) сделать вывод о том, что BF=CF²/EF и, следовательно,

AB= CF²/EF

, так как АВ = ВF;

11) найти числовое значение искомого расстояния АВ, измерив доступные отрезки СF и ЕF;

12) записать ответ.

Прием, реализующий второй способ решения данной задачи, состоит из следующей системы действий :

1) мысленно соединить недоступные точки А и В;

2) провести два взаимно перпендикулярных луча с началом в недоступных точках А и В, пересекающиеся в доступной точке С;

3) на луче с началом в недоступной точке В выбрать произ­вольную точку D и, соединив недоступную точку А с доступной точкой D, измерить угол АDС;

4) с вершиной в точке D построить угол СDF, равный углу АDС, где точка F принадлежит лучу с началом в недоступной точке А;

5) доказать, что ADС= FDС, и сделать вывод о том, что AС=СF;

6) соединить недоступную точку В и доступную точку F и до­казать, что АВС=FВС;

7) сделать вывод о том, что искомое расстояние АВ = ВF;

8) провести FЕперпендикулярно ВF, где точка Е принадлежит лучу с началом в недоступной точке В;

9) доказать, что BFE подобен ECF;

10) сделать вывод о том, что ВР =EF*CF/CE и, следовательно,

АВ=- EF*CF/CE, так как АВ = BF;

11) найти числовое значение искомого расстояния AВ, измерив доступные отрезки ЕF, СF и СЕ;

12) записать ответ.

Анализ сформулированных приемов показывает, что их основ­ное отличие состоит в выборе произвольной доступной точки D на луче с началом в недоступной точке В (в выбранных обоз­начениях). Если точка D выбирается на указанном луче за точкой С, то получаем первый способ решения задачи. Если точка D вы­бирается на этом луче между точками В и С, то имеем второй способ решения. Это приводит к тому, что приемы, реализующие первый и второй способы решения, отличаются действиями 8, 9 и 10. Поэтому в обобщенном приеме эти действия следует рас­сматривать как операции, входящие в действие, по построению подобных треугольников, необходимых для определения искомого расстояния АВ, а именно:

8) построить два подобных прямоугольных треугольника, ос­новой которых является прямоугольный треугольник ВСF, для этого:

а) если точка D выбрана на луче с началом в недоступной точке В за точкой С, то в треугольнике ВСF опустить высоту из вершины прямого угла на гипотенузу;

б) если точка D выбрана на луче с началом в недоступной точке В между точками В и С, то из вершины F треугольника ВСF восставить перпендикуляр к гипотенузе ВF до пересечения с указанным лучом в точке Е;

в) в первом случае доказать подобие треугольников СВF и ЕСF, во втором — треугольников ВFЕ и ЕСF;

г) в первом случае сделать вывод о том, что АВ= CF²/EF, во втором АВ= EF*CF/CE

9) найти числовое значение искомого расстояния АВ, изме­рив в каждом случае соответствующие отрезки;

10) записать ответ.

Предложенные здесь приемы косвенного измерения расстоя­ний имеют важное практическое значение в плане применения уча­щимися математических знаний. Усвоение этих приемов, как частных, так и общих, представляет определенные трудности для уча­щихся, что требует постепенной отработки основных действий, входящих в тот или иной прием. Основными измерительными инструментами на местности являются: экер, астролябия, вехи и сантиметровая (мерная) лента. Соответственно в тетрадях черте­жи учащиеся выполняют с помощью чертежного треугольника, транспортира, масштабной линейки, циркуля.

Предложенные здесь задачи на косвенное измерение расстоя­ний выполняются соответственно после изучения учащимися ра­венства, а затем подобия треугольников. Обобщенные приемы кос­венного измерения расстояний вводятся позже. Наиболее эффек­тивное их формирование происходит в ходе выполнения уча­щимися измерительных работ на местности.

Учителем широко могут использоваться кружковые занятия по математике для отработки специальных приемов решения задач на косвенное измерение расстояний. С этой целью для решения рассмотренных здесь видов задач можно рекомендовать и другие приемы их решения. Например:

1) Для измерения недоступного расстояния между доступными точками можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойст­ва прямоугольного равнобедренного треугольника; б) свойства осевой симметрии; в) свойства параллелограмма; г) свойства средней линии треугольника; д) теоремы синусов и косинусов; е) графический способ (мензульная схемка) и др.

2) Для измерения расстояния до недоступной точки можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойства равнобед­ренного прямоугольного треугольника; б) свойства отрезков, от­секаемых параллельными прямыми на сторонах угла; в) теорему синусов; г) графический способ и др.

3) Для измерения расстояния между недоступными точками можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойства парал­лелограмма; б) теоремы синусов и косинусов; в) графический способ.

В каждом случае учитель должен сформулировать приемы, со­ответствующие тому или иному способу решения задачи, вначале частные, а затем и обобщенные. На основе их применения учитель может более эффективно построить обучение решению задач на косвенное измерение расстояний.