Дополнительный материал к уроку геометрии в 8 классе. Задача Дидоны

Задача Дидоны

Дополнительный материал по геометрии по теме «Площади»

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Перу великого русского писателя Льва Николаевича Толстого принадлежит рассказ «Много ли человеку земли нужно» о том, как мужик по имени Пахом сделал целью своей жизни приобретение как можно большего количества земли и что из этого вышло.

Сюжет этого рассказа лег в основу геометрической задачи выдающегося писателя-популяризатора, ученого Якова Перельмана «Как Пахом покупал землю»

Содержание задачи Я. И. Перельмана «Как Пахом покупал землю »

Узнал Пахом, что много земли можно

купить у башкирцев.

Стоимость земли – 1000 рублей за 1 день : «…сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню тысяча рублей.»

Условие сделки: «… Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое. Если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.»

Приехали в степь, заря занимается. Вылезли из тарантасов, послезали с лошадей, сошлись в кучку. Снял старшина шапку лисью, поставил на землю.

— Вот,— говорит,— метка будет. Отсюда пойди, сюда приходи. Что обойдешь, все твое будет.

Вынул Пахом деньги, положил на шапку, … собрался идти.

Думал, думал, в какую сторону взять,— везде хорошо. Думает: «Все одно: пойду на восход солнца».

Стал лицом к солнцу … Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и пошел в степь.

Далее описывается маршрут движения Пахома.»

О первой стороне его читаем: « Верст пять прошел … Пройду еще верст пяток; тогда влево загибать … »

О второй стороне, составляющей с первой прямой угол, численных указаний в рассказе нет.

Длина третьей стороны, перпендикулярной ко второй, указана в рассказе прямо: « По третьей стороне всего версты две прошел».

Непосредственно дана и длина четвертой стороны: « До места все те же верст 15».

15 верст

С

D

2 версты

В

Е

10 верст

А

А сколько это гектаров ?

1 верста = 1,0668 км

Квадратная верста=1,0668∙1,0668=1,13806224км 2 ≈1,138 км 2

Площадь земельного участка, который обежал Пахом равна: 78 ∙ 1,138 = 88,764 км 2 = 8876,4 га

Много или мало?

Какая четырехугольная фигура заключает в своих границах наибольшую площадь по сравнению с другими четырехугольными фигурами того же периметра ?

Рассмотрим прямоугольники, периметры которых равны 40. Найдем их площади.

Длина

(верста)

Ширина

(верста)

Площадь

(кв.верста)

1

19

19

18

36

2

51

Р = 40 верст

17

3

16

64

4

15

75

5

14

84

6

Наибольшую площадь имеет квадрат

10

10

100

Из всех четырехугольных фигур квадрат заключает с своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими четырехугольниками того же периметра.

Правильные фигуры с периметром 40

Квадрат – правильная фигура. Можно убедиться, что с увеличением количества сторон площадь правильной фигуры увеличивается

4-угольник

5-угольник

8-угольник

10-угольник

12-угольник

6-угольник

Изопериметрическая задача: Среди всех замкнутых линий данной длины найти ту, которая охватывает наибольшую площадь.

Ответ был известен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений – это ……………. , но строго доказать его удалось лишь в конце 19 века.

окружность

Задача Дидоны

История изопериметрической задачи началась в 825 году до нашей эры, когда, как написал в своей поэме «Энеида» древнеримский поэт Вергилий, дочь финикийского царя царица Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из города Тира. Пигмалион убил Сихея, мужа Дидоны, чтобы овладеть ее богатством. 

Дидона после долгого путешествия корабль пристал к берегам Африки. Дидоне понравилась земля. Она обратилась к местному предводителю нумидийцев Ярбу с просьбой продать кусок земли на берегу моря, чтобы основать там свое поселение. Ярб с усмешкой предложил ей взять столько земли, сколько можно ограничить одной бычьей шкурой. Дидона не растерялась и согласилась. Сначала она разрезала шкуру так, что получился тонкий кожаный ремешок. Этим ремешком она окружила солидный участок земли, на котором обосновала впоследствии великий город Карфаген.

Пред Дидоной — впервые за всю историю человечества— встала задача, которую много веков спустя и назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?

Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — окружность? Кто знает... Известно только, что старая крепость Карфагена имела форму полукруга.

Существует миф, что Дидона была влюблена в Энея, героя Троянской войны, которого страшная буря забросила в Карфаген. Эней, следуя воле богов, покинул Дидону и она покончила жизнь самоубийством, бросившись на меч.

ПОХОЖИЕ ЗАДАЧИ

Лысогорская церковь Рождества Пресвятой Богородицы. Построена в 1886 г.

Существует быль – легенда о строительстве церкви: собрались лысогорские казаки вместе и отправились к атаману Брянцеву, чтобы спросить разрешение на строительство. Привезли в подарок самого лучшего барана. Принял дар атаман, выслушал просьбу казаков, и немного помыслив, молвил: «Внимаю я и разрешаю строить православный храм на земле нашей, но при соблюдении малого условия – уместить церковь на шкуре барана, коего вы привезли мне». Находчивыми оказались казаки. Чисто выделали шкуру барана, нарезали на очень тонкие ленточки, соединили - получилась длинная верёвочка. Церковь деревянная, что необычно для нашего края. Построена из деревянных брусов, закреплённых в пазы, при строительстве не использовали ни единого гвоздя. Чернорабочими на строительстве были екатерининские солдаты, провинившиеся в русско-турецкой войне (1875-1877г.г).

Ивангоро́дская кре́пость ( Ивангород , Ленинградская область , Россия ), была построена летом 1492 года на правом берегу Нарвы . И была названа в честь царствовавшего в то время Ивана III Васильевича . Целью возведения Ивангородской крепости была защита Новгородской земли со стороны её западных соседей. Ивангород стал форпостом на западе русской земли, на границе с Ливонией, где на левом берегу реки с XIII века стояла крупная крепость рыцарей Тевтонского ордена (Нарвская крепость).

Легенда об основании Ивангорода: В 1345 году левобережные земли Принаровья переходят от датчан к Ливонскому ордену, купившему всю Северную Эстонию у прежних владельцев за 4,5 тонны серебра. Дабы обезопасить границы отечества, царь Иван III строит "... в лето 7000 (1492г.) ... град на неметцком рубежи, на реце на Нарове, и нарече Ивангород". «Однажды русский царь был в гостях у шведского короля. Ели и пили вдоволь. В конце пира просит русский царь продать ему часть Нарвской земли. На что шведский король его спрашивает: -Сколько же ты желаешь?    - Ах, много не хочу, - ответил хитрый царь, - только в величину лошадиной шкуры. Русский царь разрезал шкуру на тонкие-тонкие ремешки, связал их и получившейся веревкой обнес часть земли. Повелел выкопать новое русло для реки, которое бы отделило Город лошадиной шкуры от Нарвы.»

Изопериметрический метод имеет большое практическое значение. Он широко используется в прикладной физике, теории вариационного исчисления, строительной механике.