Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Прямоугольный параллелепипед. Геометрия. 10 класс .

Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Прямоугольный параллелепипед. Геометрия. 10 класс .

Подготовила

учитель математики

ГОУ «Свердловская гимназия № 2»

Латышева И.С

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Точки  А  и  В  лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки  АС  и  ВD  проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок  СD , если  АВ = АС = ВD = а .

Дано : ∠ САВD = 120°,  

АС  ⊥  АВ ,   АС  ⊂ α,

BD  ⊥  АВ ,   BD  ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а .

Найти :  СD.

Решение :

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠ САВD = 120°.

АВ  – ребро двугранного угла, точка   С   лежит в одной полуплоскости, точка   D   лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая   АС , перпендикулярная   АВ . В другой полуплоскости проведена прямая   ВD , перпендикулярная   АВ .

Проведем   АК   перпендикулярно   АВ   и   DК   параллельно   АВ   (рис. 2). Тогда угол   САК   – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠ САК   = 120°.

Так как прямые   АК   и   ВD перпендикулярны одной и той же прямой   АВ , то прямые   АК   и   ВD  –  параллельны. В четырехугольнике   АКDВ   противоположные стороны параллельны ( AK ∥ BD,   AB ∥   DK ), значит,     АКВD – параллелограмм. Значит,    АК=BD   = а .

Рассмотрим треугольник   АКС.   Найдем     с помощью теоремы косинусов:

Прямая  АВ  перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая  DК  перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая   DК   перпендикулярна прямой  СК , лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол  СКD  прямой.

Из прямоугольного треугольника  СКD  по теореме Пифагора находим гипотенузу  СD .