ЕГЭ профильный уровень. Задание №4. Вероятность

ЕГЭ профильный уровень

Задание 4. Вероятность

1. На складе в случайном порядке находятся смартфоны: белых 10 штук, черных 20 штук и розовых 10 штук. Также на этом складе в случайном порядке лежат чехлы к ним: белых 20 штук, черных 10 штук и розовых 10 штук. Найдите вероятность того, что взятый наугад смартфон и чехол будут одного цвета.

Решение.

Чтобы смартфон и чехол могут быть одного цвета, при возникновении следующих трех несовместных событий:

A: «выбран смартфон и чехол белого цвета»;

B: «выбран смартфон и чехол черного цвета»;

C: «выбран смартфон и чехол розового цвета».

Так как всего смартфонов n=40 и среди них белых m=10, то вероятность выбора белого смартфона . По аналогии с чехлами: всего их n=40, белых m=20, вероятность выбора белого чехла . Следовательно, чтобы событие A произошло должно произойти и первое событие (выбор белого смартфона) и второе (выбор белого чехла). Учитывая независимость этих событий, имеем:

По аналогии определяются вероятности для событий B и C:

И искомая вероятность, равна:

Ответ: 0,3125.

1. Стрелок стреляет по мишени. Вероятность того, что он ее поразит, выстрелив по ней, равна 0,8. При поражении мишени стрельба прекращается. Сколько минимум выстрелов должен сделать стрелок, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,99?

Решение.

Учитывая совместность событий (поражение мишени при очередном выстреле), будем решать эту задачу от обратного. Сначала вычислим вероятность промаха при n выстрелах. Например, вероятность промаха при первом выстреле, очевидно, равна 1-0,8=0,2. Вероятность промаха при двух выстрелах (учитывая независимость этих событий), равна

И так далее, при n выстрелах, имеем:

Зная вероятность промаха при n выстрелах, можно вычислить вероятность попадания:

и по условию задания эта величина должна быть

Это неравенство проще всего решить методом перебора. Найдем наименьшее n, при котором , имеем:

- при n=2: ;

- при n=3: 

Получили, что при n=3 вероятность промаха равна 0,992, что больше 0,99.

Ответ: 3.

1.  Найдите вероятность того, что при однократном бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет ровно 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Один игральный кубик имеет 6 граней с номерами от 1 до 6. Тогда число вариантов, при которых сумма очков будет равна 7:

1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1

равно m=6. Учитывая, что всего вариантов , получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,17.

1. Иван Михайлович гуляет по парку и начинает свой путь из точки A. На каждой развилке он случайным образом и с равной вероятностью выбирает одну из дорожек. Причем не возвращается на те дорожки, по которым уже прошел. Какова вероятность того, что Иван Михайлович дойдет до точки E.

Решение.

Изначально Иван Михайлович выходит из точки A и попадает на первую развилку, где он равновероятно может выбрать одну из 4-х дорожек. Из рисунка видно, что только одна из них ведет в точку E, следовательно, вероятность правильного выбора направления, равна .

Далее, предположим, что Иван Михайлович верно выбрал направление и попал на следующую развилку, которая ведет к точкам D и E. Так как там всего два пути, то путь к точке E он выберет с вероятностью .

Таким образом, чтобы Иван Михайлович прошел из А в E он должен «правильно» выбрать маршрут на двух развилках. Так как эти события независимы, получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,125.

1.  Вероятность того, что новый купленный телевизор будет служить больше одного года, равна 0,97. А вероятность того, что он прослужит более трех лет, равна 0,8. Найдите вероятность того, что телевизор прослужит больше года, но менее трех лет.

Решение.

Здесь можно заметить, что обратное событие A: «телевизор прослужит не более трех лет» можно записать через обратное событие B: «телевизор прослужит не более года», добавив к нему событие C: «телевизор прослужит от года до трех лет». То есть, A=B+C. Учитывая несовместность этих трех событий, вероятность события A можно записать как

,

откуда

Ответ: 0,17.

1. На соревнованиях по плаванию принимают участие 5 спортсменов из России, 3 спортсмена из Франции, 4 спортсмена из Италии и 3 спортсмена из Хорватии. Порядок участия каждого спортсмена определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсменка из России Анастасия Сергеевна будет участвовать под номером 1 или 3 или 7.

Решение.

Вероятность того, что спортсменка Анастасия Сергеевна будет участвовать под каким-либо номером, равна доли спортсменов на этом соревновании. Так как всего спортсменов n=5+3+4=12, а в задании интересует вероятность того, что она будет выступать под одним из трех номеров (1, 3 или 7), значит, число благоприятных исходов m=3. Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,25

1. Уличный фонарь имеет три лампочки. Вероятность перегорания какой-либо одной из них в течение года, равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года не перегорит ни одна из лампочек.

Решение.

Перегорание лампочек – это независимые события, следовательно, вероятность того, что не перегорят все три лампочки, равна:

.

Ответ: 0,729.

1. Если стрелок стреляет из пристрелянного ружья, то попадает в мишень с вероятностью 0,7, а если стреляет из не пристрелянного ружья, то попадает в мишень с вероятностью 0,4. В тире находятся 10 пристрелянных ружей и 2 не пристрелянных. Стрелок наугад выбирает одно ружье и стреляет по мишени. Найдите вероятность того, что стрелок промахнется.

Решение.

Из условия задания следует, что вероятность промаха из пристрелянного ружья, равна 1-0,7=0,3, а вероятность промаха из не пристрелянного ружья – 1-0,4=0,6. Так как в тире 10 пристрелянных и 2 не пристрелянных ружья, то вероятность выбора пристрелянного, равна , а не пристрелянного – .

Стрелок промахнется при возникновении одного из двух несовместных событий:

A: «наугад выбирается пристрелянное ружье и стрелок промахивается»;

B: «наугад выбирается не пристрелянное ружье и стрелок промахивается».

Вероятность события A, равна

а вероятность события B:

Таким образом, искомая вероятность того, что стрелок промахнется:

Ответ: 0,35.

1.  Симметричную монетку подбрасывают четырежды. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет ровно два раза.

Решение.

1-й способ. При четырехкратном подбрасывании монетки орел (О) может выпасть дважды при следующих исходах:

О О Р Р; О Р Р О; Р Р О О; Р О Р О; О Р О Р; О Р Р О

то есть, всего m=6 благоприятных исходов. Общее число возможных комбинаций, равно . Получаем значение искомой вероятности:

2-й способ. Здесь можно воспользоваться формулой Бернулли

,

где n=4 – общее число подбрасываний монетки; k=2 – число выпадений орла; p=1/2 – вероятность появления орла при одном подбрасывании;  - число сочетаний из n по k (число благоприятных исходов). И в данном случае

Подставляем все значения в формулу Бернулли, имеем:

Ответ: 0,375.

1. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,1. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.

Система может забраковать изготовленную батарейку при двух несовместных событиях:

A: «батарейка неисправна и она бракуется системой»;

B: «батарейка исправна и она бракуется системой».

Определим вероятность события A. Вероятность того, что батарейка будет неисправна, равна 0,01, а вероятность того, что она забракуется системой, равна 0,99. Получаем, что

.

По аналогии для события B. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 1-0,01=0,99 и вероятность ее забраковки 0,1, имеем:

Искомая вероятность, равна

Ответ: 0,1089.

2